2011 年河南预赛 · 第 8 题

解答

有 $x^4+3x^2-6x+10=(x^2+1{)}^2+(x-3{)}^2$，$x^4-3x^2+2x+5=(x^2-2{)}^2+(x+1{)}^2$。令 $v=(x^2-2,x+1)$、$w=(3,-4)$，则原式为 $|v+w|-|v|\le |w|=5$。取 $x=(-3-\sqrt{89})/8$，满足 $4x^2+3x-5=0$、$x<-1$，故 $v=t(3,-4)$，其中 $t=-(x+1)/4>0$。此时等号成立，所以最大值为 $\boxed{5}$。