函数的值域 · 学习路线

先检查顶点是否属于定义域，再比较离顶点最远的两端。

要证明整个值域，可从任意候选函数值反求一个合法原像。

由 $-1<x\le 2$ 得 $-2<x-1\le 1$，所以 $0\le (x-1{)}^2<4$。

最小值 $2$ 在 $x=1$ 取到；等于 $6$ 需要 $x=-1$ 或 $3$，均不属于定义域。

任给 $y\in [2,6)$，取 $x=1-\sqrt{y-2}$，则 $-1<x\le 1$，且 $f(x)=y$，所以值域恰为 $[2,6)$。

$x=2$ 是合法端点但并非最大值点，$f(2)=3$。$6$ 为上确界而非最大值；$2$ 为真正最小值。

先求三个根式共同的定义域；设前两个根式之和为 $s$。

将 $s^2$ 展开，表达第三个根式；别把 $s$ 当作任意非负数。

三个根式共同要求 $-3\le x\le 3$。令 $s=\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}$，则 $s>0$ 且 $s^2=6+2\sqrt{9-x^2}$。

$0\le \sqrt{9-x^2}\le 3$，所以 $s\in [\sqrt{6},2\sqrt{3}]$。任给此范围内的 $s$，令 $w=(s^2-6)/2\in [0,3]$，取 $x=\sqrt{9-w^2}$，即可还原出该 $s$，故换元范围准确。

原式为 $H(s)=s+(s^2-6)/6$。对区间内 $s_2>s_1$，有 $H(s_2)-H(s_1)=(s_2-s_1)(1+(s_2+s_1)/6)>0$，故严格递增。

$H(\sqrt{6})=\sqrt{6}$，$H(2\sqrt{3})=1+2\sqrt{3}$。$H$ 在完整换元区间上连续，故其间所有值均可达，值域为 $[\sqrt{6},1+2\sqrt{3}]$。

所有根号均取非负平方根；展开 $s^2$ 时交叉项是 $2\sqrt{9-x^2}$。$x=\pm 3$ 取下端，$x=0$ 取上端；连续区间上没有中间缺口。

柯西给出的界要结合取等向量检查半圆条件。

对上界也可以直接用 $v\ge 0$；再说明端值之间是否有缺口。

柯西不等式给 $|5u-12v|\le \sqrt{25+144}\sqrt{u^2+v^2}=13$，所以表达式至少为 $-13$。在 $(u,v)=(-5/13,12/13)$ 取到 $-13$，且 $v>0$ 合法。

由 $v\ge 0$ 与 $u\le 1$，有 $5u-12v\le 5u\le 5$；在 $(1,0)$ 取得 $5$。

令 $u=\cos \theta ,v=\sin \theta$，$\theta \in [0,\pi ]$，即遍历整个上半圆。函数 $5\cos \theta -12\sin \theta$ 连续，包含已达到的两端值，介值定理保证其间所有值都可达。因此值域为 $[-13,5]$。

$v=0$ 允许，故上界点 $(1,0)$ 合法；若条件改为 $v>0$，该端就不可取。全圆最大值 $13$ 的取等点在下半圆，不能沿用；仅有上下界还不足以断言值域是整段。

最小值先看顶点 $x=2$ 是否真的在区间内。

最大值比较两端离 $2$ 的距离；左端虽被删去，但相同高度可能在右端取得。

若 $1\le a<2$，有 $a<2\le a+1$，所以 $x=2$ 合法，最小值为 $0$；若 $a=2$，定义域为 $(2,3]$，下确界 $0$ 不可达，无最小值。

对 $1\le a<2$，顶点左侧距离的上确界为 $2-a$，但左端 $a$ 不可取；顶点右侧最大距离为 $a-1$，由右端 $a+1$ 取得。

若 $a-1\ge 2-a$，即 $a\ge 3/2$，则全区间最大值为 $(a-1{)}^2$，在右端取到。若 $a<3/2$，右端值较低，而左侧函数值可不断接近更大的 $(2-a{)}^2$ 却不达到，故没有最大值。

合并条件得 $a\in [3/2,2)$。更完整地，$1\le a<3/2$ 时值域为 $[0,(2-a{)}^2)$；$3/2\le a<2$ 时值域为 $[0,(a-1{)}^2]$；$a=2$ 时值域为 $(0,1]$。这些区间均由连续函数在原区间上的像得到，中间没有缺口。

$a=1$：定义域 $(1,2]$、值域 $[0,1)$，有最小值但无最大值。$a=3/2$：值域 $[0,1/4]$，右端可实现原本被删左端的高度，必须包含。$a=2$：值域 $(0,1]$，有最大值但无最小值，必须排除。