从单位圆走向三角形的向量权重

1. 单位圆恒等式

置 u(t)=(cos t,sin t)。旋转矩阵 R(t)=[[cos t,−sin t],[sin t,cos t]]，由旋转复合 R(α+β)=R(α)R(β) 的两列得到：

cos(α+β)=cos α cos β−sin α sin β；sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β。

将 β 换成 −β，或用逆旋转，得到 u(α)·u(β)=cos(β−α) 与 det(u(α),u(β))=sin(β−α)。因此符号与顺序有关：交换两向量，数量积不变，有向面积反号。令 α=β 得倍角公式 sin(2α)=2sin α cos α、cos(2α)=cos²α−sin²α；令 β=−α 得 sin²α+cos²α=1。这些等式对所有实角成立，不要求三角形非退化。

2. 先证明垂心坐标，不借用重心公式

O 为坐标原点，令顶点向量为 u、v、w，且 |u|=|v|=|w|=1。置 h=u+v+w，则 (h−u)·(v−w)=(v+w)·(v−w)=|v|²−|w|²=0。轮换顶点可得另外两条高线。非共线三角形的高线唯一交于 H，所以 OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗。直角顶点处即使 h=u、向量为零，也表示 H 在该高线上，不需要构造一个无定义的夹角。对于任意原点 X，一般式为 XH⃗=XA⃗+XB⃗+XC⃗−2XO⃗，不能漏掉外心项。

3. 有向面积与外心的奔驰等式

对任意非共线顶点和任意点 Q，以 [UVW]=det(V−U,W−U)/2 定义有向面积。展开行列式可得 [QBC]+[QCA]+[QAB]=[ABC]；同样展开 x、y 分量可得 Q=λₐA+λᵦB+λ𝚌C，其中 λₐ=[QBC]/[ABC]，其余轮换。于是对任意参考点 P，Σλᵢ PAᵢ⃗=PQ⃗。这是本页所有中心权重的共同含义，不是任意权重都给外心。

令 Q=O，先按逆时针圆周次序给顶点命名。由圆周角，避开 A 的弧 BC 的有向圆心角为 2A（可超过 π），所以 [OBC]=(1/2)sin(2A)，其余轮换。顺时针次序三个式子同时反号。故 O 的重心坐标正比于 sin(2A)、sin(2B)、sin(2C)。这也独立给出奔驰向量零和，不用垂心等式来证明外心权重。由于 A+B+C=π，

sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=2sin(A+B)cos(A−B)+2sin C cos C=4sin A sin B sin C > 0。

中间一步用 cos C=−cos(A+B) 以及 cos(A−B)−cos(A+B)=2sin A sin B。归一化分母对每个非退化三角形都非零。钝角所对的 sin(2A) 为负数；A=90° 时这一项为 0，另两项相等，正好给出斜边中点。

4. 垂心的三角权重：另证与直角延拓

先设三个 cos 均非零。高线 AD 在 BC 上的垂足 D 可以在延长线上。取有向坐标 B=0、C=a，则 BD=c cos B，DC=b cos C（二者允许负），故 BD/DC=(sin C cos B)/(sin B cos C)=tan C/tan B。点 λₐA+λᵦB+λ𝚌C 所在 A-射线与 BC 的交点，其有向 BD/DC=λ𝚌/λᵦ（若 λᵦ+λ𝚌=0，射线与 BC 平行）。取 λ 比为 tan A:tan B:tan C，便给出与高线相同的方向。两条高线确定 H。等价地，乘上 cos A cos B cos C 可去掉 tan 的奇点，得到上表的 sin A cos B cos C 等权重。

分母恒等式为 Σsin A cos B cos C=sin A sin B sin C >0：例如把前两项合并成 cos C sin(A+B)=sin C cos C，再用 cos(A+B)=cos A cos B−sin A sin B=−cos C 消去，即得结论。直角 A=90° 时，直接代入，只有 A 的权重非零，故 H=A；无需对无穷大的 tan 做运算。钝角 A 时，A 项正，B、C 项负，归一化后 H 位于三角形外。这套证明与前一节的单位圆高线正交证明独立；程序同时展示二者所得坐标。

5. 内心与边界

内心到三边的距离同为内切圆半径 r，三个小三角形 IBC、ICA、IAB 的面积比是 ar:br:cr=a:b:c，所以面积重心公式给出 I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，不是外心或垂心。重心由中线内分 2:1 得到 G=(A+B+C)/3，故单位圆上 OH⃗=3OG⃗；正三角形 O=G=H，但没有唯一非零欧拉线方向。

同一圆上三个互异点不共线；共线姿态只能由重合点引起。两个顶点对径且第三点互异是合法直角三角形，不能误报退化。顶点重合时圆本身仍有圆心 O=(0,0)，但不能称它为退化三角形的“唯一外心”，也不定义垂心、内心或上述归一化重心坐标。数值实现将两点距离或双倍面积不超过 10⁻¹⁰ 的姿态视为不可稳定计算，明确停用中心目标，保留三角恒等式；不把极限值当作当前定义值。