5.4 三角函数的图象与性质

B。\(10{:}45\) 比 \(10{:}15\) 晚 \(30\) 分钟，正好又转了一整圈，回到同一个位置：最高点。

转一圈回到原处，所以高度每隔 \(30\) 分钟就重复一次。把“高度随时间”画出来，是一条一起一伏、不断重复的波浪线。

这一节就讲这种曲线：单位圆上的点转起来，它的纵坐标画出 \(y=\sin x\)，横坐标画出 \(y=\cos x\)。从图上读出它们多久重复一次（周期）、哪里上升哪里下降（单调）、最高最低（最值）、左右是否对称。

C。在 \([0,2\pi]\) 里，最高点 \(\frac{\pi}{2}\)、最低点 \(\frac{3\pi}{2}\)：从 \(0\) 升到 \(\frac{\pi}{2}\)，再降到 \(\frac{3\pi}{2}\)，再升到 \(2\pi\)。选 A 的同学背了公式里 \(k=0\) 那段，可它跑出了 \([0,2\pi]\)；B 是减区间；D 把下降的 \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\) 也算进去了。

A。余弦是偶函数，\(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{6}\)。\(\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{4}\)，都在递减区间 \([0,\pi]\) 里，所以 \(\cos\frac{\pi}{6}>\cos\frac{\pi}{4}\)（\(\frac{\sqrt3}{2}>\frac{\sqrt2}{2}\)）。选 B 的同学看到 \(-\frac{\pi}{6}\) 是负的，就以为它的余弦也小；负角的余弦和对应正角一样。

D。\(\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi\)，那里 \(\cos x=0\)，没有定义。选 B 的同学记成了“\(k\pi\) 处没定义”；其实 \(\tan\pi=\frac{0}{-1}=0\)，好好的，要去掉的是 \(\frac{\pi}{2}+k\pi\)。

A。区间里没有最高点 \(\frac{\pi}{2}\)、也没有最低点 \(-\frac{\pi}{2}\)，\(\sin x\) 在这一段上递增，值域就是两个端点之间：\(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12\) 到 \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\)。选 C 的同学把 \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\) 的负号丢了；选 B 是把整条曲线的值域搬了过来。

B。减区间是 \(\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]\)，\(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\) 在 \(k=0\) 那段里。A 前半段在上升；C 是增区间；D 过了 \(\frac{3\pi}{2}\) 又开始上升。

C。区间在 \([0,\pi]\) 里，余弦递减，最大在左端 \(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\)，最小在右端 \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\)。选 A 的同学把 \(\cos\frac{2\pi}{3}\) 算成了正的；B 以为区间里有最高点 \(x=0\)，其实没有。

B。取 \(x_1=\frac{\pi}{4}\)、\(x_2=\frac{3\pi}{4}\)：\(x_1<x_2\)，可是 \(\tan x_1=1\)，\(\tan x_2=-1\)，后面的反而小。增函数要求“任取 \(x_1<x_2\) 都有 \(f(x_1)<f(x_2)\)”，这里不成立。

选 A 的同学看到了每段都上升，却忘了两段之间隔着一条渐近线：过了 \(x=\frac{\pi}{2}\)，函数值从 \(+\infty\) 那边“跳”回 \(-\infty\) 那边重新开始。单调区间只能一段一段写。

C。任取一个正数 \(T\)，对每个 \(x\) 都有 \(f(x+T)=3=f(x)\)，所以任何正数都是它的周期，它当然是周期函数。

可是正数里没有最小的：\(1\) 是周期，\(\frac12\)、\(\frac1{100}\) 也都是。所以“周期函数一定有最小正周期”是错的。

B。区间里含有最高点 \(x=\frac{\pi}{2}\)，所以最大值是 \(1\)，不是端点上的 \(\frac{\sqrt2}{2}\)。最小值看两个端点：\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac12<\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\)，取 \(\frac12\)。

只算端点（A）漏了中间的最高点；直接写 \([-1,1]\)（C）是把整条曲线的结论搬到了一个小区间上。

A。最大值要是 \(1\)：区间得含最高点 \(\frac{\pi}{2}\)，所以 \(a\ge\frac{\pi}{2}\)。最小值要是 \(0\)：\(\sin x\) 在 \([0,a]\) 上不能变负，过了 \(\pi\) 就是负的，所以 \(a\le\pi\)。

C 漏了“要能取到 \(1\)”，\(a=\frac{\pi}{3}\) 时值域只有 \(\left[0,\frac{\sqrt3}{2}\right]\)；B、D 漏了“不能变负”，\(a=\frac{3\pi}{2}\) 时值域已经是 \([-1,1]\)。在“动手”②里把区间左端放在 \(0\)，拖右端试试。