5.3 诱导公式

B。正对面就是关于中心（原点）对称：往左多远就变成往右多远，往上多高就变成往下多深，两个坐标都变号。

换成角来说：你在 \(30^\circ\)，朋友在 \(30^\circ+180^\circ=210^\circ\)。单位圆上点的坐标就是 \((\cos,\sin)\)，所以

\(\cos210^\circ=-\cos30^\circ\)，\(\sin210^\circ=-\sin30^\circ\)。

这一节会用反射、旋转与整圈终边不变，读出新角的函数值与原角的关系。这样的式子叫诱导公式。

D。\(\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}\)。选 A 的同学漏了第二象限余弦为负；选 C 的同学记混了 \(\cos 60^\circ\) 与 \(\sin 60^\circ\)。

B。奇变名：\(\cos \to \sin\)；视 \(\alpha\) 为锐角，\(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\) 落在第二象限，原函数 \(\cos\) 在第二象限为负，取负号得 \(-\sin\alpha\)。选 A 的同学误看了新函数正弦在第二象限为正！

A。\(\sin(-750^\circ) = -\sin 750^\circ = -\sin(30^\circ + 2\times 360^\circ) = -\sin 30^\circ = -\dfrac{1}{2}\)。选 B 的同学第一步丢了正弦吐出的负号！

A。\(\dfrac{4\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}\)，由半圈关系 \(\tan\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3\)。关于原点对称，\(x\)、\(y\) 同时变号，\(\dfrac yx\) 不变。选 B 的同学以为加 \(\pi\) 都要变号，那是 sin 和 cos；第三象限 tan 是正的。

B。由90°旋转关系 \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha=-\dfrac14\)，直接代，不用开平方。选 A 是忘了负号；选 C、D 是没换名，去求了 \(\cos\alpha\)。

A。有同学以为“口诀里把 \(\alpha\) 当锐角”，所以 \(\alpha\) 是钝角时公式会变号。

不会。\(\pi-\alpha\) 和 \(\alpha\) 的终边关于 \(y\) 轴对称，纵坐标相同，这对任何 \(\alpha\) 都对。比如 \(\alpha=150^\circ\)，\(\pi-\alpha=30^\circ\)，两边都是 \(\dfrac12\)。

“当成锐角”只是用来定公式里的符号的办法，公式本身对所有角成立。可以在“动手”的图里把 \(P\) 拖到第二象限亲眼看看。

B。分开判断函数名和符号：

函数名：\(\dfrac{3\pi}{2}\) 是 \(\dfrac{\pi}{2}\) 的 3 倍，奇数倍，sin 变 cos。选 C、D 是没变名。

符号：把 \(\alpha\) 当锐角，\(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\) 在第三象限，原函数 sin 在第三象限为负。选 A 是忘了看符号，或者去看了 cos 的符号。

也可以一步步推：\(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha\)。

C。由半圈关系，\(\cos\alpha=\dfrac35\)；由补角关系，\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)。

可 \(\cos\alpha=\dfrac35>0\) 只说明 \(\alpha\) 在第一或第四象限，\(\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\pm\dfrac45\)，两种都可能。只写 \(\dfrac45\) 是默认了 \(\alpha\) 是锐角。

如果题目再加一句“\(\alpha\) 是第四象限角”，答案才是 \(-\dfrac45\)。开平方的正负，一定要由角的范围来定。

B。逐个化：\(\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha\)，\(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)，分子是 \(\sin\alpha\cos\alpha\)。

\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha\)；\(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha\)（例 3），分母是 \(-\sin\alpha\cos\alpha\)。

“式子有意义”说明分母不为 \(0\)，即 \(\sin\alpha\cos\alpha\ne0\)，才能约分，结果是 \(-1\)。常见错：\(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) 少了负号，得 A。代 \(\alpha=30^\circ\) 核对：\(\dfrac{(-\frac12)(-\frac{\sqrt3}{2})}{\frac12\cdot(-\frac{\sqrt3}{2})}=-1\)。