培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第二册 · 第 6 章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
用向量推导出正弦定理、余弦定理，把三角形的边和角联结起来；解决实际中的距离、角度和测量问题。先从一个无法直接测量的距离开始。
两根长 \(3\) 米和 \(5\) 米的木棒，一端连在一起。夹角为直角时，另两端相距约 \(5.83\) 米。
夹角从 \(90^\circ\) 缩到 \(60^\circ\)，另两端的距离会怎样？先猜一猜。
B。距离变小：木棒合拢时，另两端也相互靠近。
看图比较（可选）
详细解释
直角时，由勾股定理得两端距离 \(\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}\approx5.83\) 米。
B。夹角缩小，两端点相互靠拢，距离必然变小！
初中的勾股定理 \(c^2=a^2+b^2\) 只能算夹角恰为 \(90^\circ\) 的直角三角形。当夹角不是直角时，缩短或延长的距离究竟由谁决定？
本节要学的余弦定理给出了精确回答：\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)。当 \(C=60^\circ\) 时，\(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\)，得到 \(c^2=3^2+5^2-2\times3\times5\times\dfrac{1}{2}=9+25-15=19\)，距离 \(c=\sqrt{19}\approx4.36\text{ 米}\)，确实比 \(5.83\text{ 米}\) 更短！
这一节我们就用平面向量为工具，把直角三角形的边角关系推广到任意三角形，推导出余弦定理与正弦定理。
1. 先认识几个词
要用到：前面学过的平面向量数量积与模长运算（回看 6.2）；特殊角的三角函数值与诱导公式（回看 5.2、5.3）。
边角互化：\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)。已知两角一边（AAS/ASA）必选；已知两边一对角（SSA）求角时需警惕一锐一钝两解！
无多解歧义：\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。已知两边夹角（SAS）求第三边；已知三边（SSS）求内角余弦。\(\cos C\) 符号直接定胜负：正锐、零直、负钝。
对边与对角：在 \(\triangle ABC\) 中，每个角正对一条边。内角 \(A,B,C\) 所对的边长分别记为小写字母 \(a,b,c\)。大边对大角，小边对小角。
外接圆与外接圆直径 \(2R\)：过三角形三个顶点的圆叫作外接圆，其半径记为 \(R\)，直径为 \(2R\)。直角三角形斜边即为外接圆直径。
仰角、俯角与方位角：视线在水平线上方为仰角，视线在水平线下方为俯角；从正北方向顺时针转至目标方向的角叫方位角（如北偏东 \(30^\circ\)）。
2. 核心公式与边角互化法则
② 余弦定理：\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)（变形求角：\(\cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)）；
③ 面积公式：\(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{abc}{4R}\)；
④ 定理选择口诀：已知对边对角找正弦，已知两边夹角找余弦；求角优先余弦定钝锐，求边比例正弦最顺手。
例 1（已知两边及夹角求对边）
在 \(\triangle ABC\) 中，\(b=3\)，\(c=4\)，\(A=60^\circ\)，求边 \(a\) 的长度。
由余弦定理：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=3^2+4^2-2\times3\times4\times\cos 60^\circ = 9+16-24\times\dfrac{1}{2}=25-12=13\)。
因为边长 \(a>0\)，所以 \(a=\sqrt{13}\)。
自己试试：在 \(\triangle ABC\) 中，\(a=2\)，\(b=3\)，\(C=60^\circ\)，边 \(c\) 的长度是？
A。由余弦定理：\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C = 2^2+3^2-2(2)(3)\cos 60^\circ = 4+9-12\times\dfrac{1}{2}=13-6=7\)。故 \(c=\sqrt{7}\)。
例 2（已知两角及一边求另边与外接圆半径）
在 \(\triangle ABC\) 中，\(A=45^\circ\)，\(B=30^\circ\)，边 \(a=4\)，求边 \(b\) 的长及外接圆半径 \(R\)。
外接圆直径 \(2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{4}{\sin 45^\circ}=\dfrac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\sqrt{2} \implies R=2\sqrt{2}\)。
边 \(b=2R\sin B=4\sqrt{2}\times\sin 30^\circ=4\sqrt{2}\times\dfrac{1}{2}=2\sqrt{2}\)。
自己试试：在 \(\triangle ABC\) 中，\(a=3\)，\(b=4\)，夹角 \(C=30^\circ\)，三角形的面积 \(S\) 是？
A。面积 \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times3\times4\times\sin 30^\circ=6\times\dfrac{1}{2}=3\)。选 B 的漏乘了 \(\dfrac{1}{2}\)；选 C 的误套成了余弦。
3. 典型例题：三步思维链精讲
例 3（高频考法·方程法求未知边与面积）
在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，\(A=120^\circ\)。求：① 边 \(c\) 的长度；② \(\triangle ABC\) 的面积 \(S\)。
- 三角形给两边及夹角 → 先用余弦定理补出第三边，再决定后续面积或角度方法。
- 式子里出现边与 sin 角的对应比 → 想正弦定理，把边长与角互换。
\((\sqrt{3})^2 = 1^2 + c^2 - 2(1)(c)\cos 120^\circ \implies 3 = 1 + c^2 - 2c\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)；
化简得 \(c^2 + c - 2 = 0 \implies (c+2)(c-1) = 0\)；
因边长 \(c > 0\)，舍去负根得 \(c = 1\)（此时 \(\triangle ABC\) 为等腰三角形！）；
② 计算三角形面积：
\(S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}\times 1\times 1\times\sin 120^\circ = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\)。
② 边长必须为正数，解二次方程后负根 \(c=-2\) 坚决舍弃；
③ 验证三角形不等式：\(b=1, c=1, a=\sqrt{3}\approx 1.732\)，\(1+1 > \sqrt{3}\)，两边之和大于第三边成立。
4. 这三种情况最容易翻车
已知 \(A=30^\circ, b=2\sqrt{3}, a=2\)，由 \(\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) 只得出 \(B=60^\circ\)。
高 \(h=b\sin A=\sqrt{3}\)。已知 \(A\) 为锐角，且 \(h < a < b\)，以 \(C\) 为圆心、\(a\) 为半径的圆与从 \(A\) 出发的底边射线有两个有效交点。\(B\) 可为 \(60^\circ\)（锐角）或 \(120^\circ\)（钝角），两者都满足 \(A+B<180^\circ\)，恰有两解；只取锐角会漏解。
已知 \(a=2, b=3, c=5\)，代入余弦定理硬算得出 \(\cos C = -1 \implies C=180^\circ\)。
\(2+3=5\)，三点落在一条直线上，根本围不成三角形！做题前必须时刻牢记两边之和必须大于第三边。
面积公式算成 \(ab\sin C\)（漏乘 \(\frac{1}{2}\)），或已知边 \(a, b\) 却去乘 \(\sin A\)。
严格牢记 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\)：正弦角必须是两已知边的正夹角，系数 \(\dfrac{1}{2}\) 绝不可丢。
5. 从例题到考题：边和角混在一个等式里
前面的已知量都是具体的边长和角度。考题常给一个等式，边和角乘在一起。先看 \(a\cos B=b\cos A\)：用 \(a=2R\sin A\)，\(b=2R\sin B\) 代入，两边都带 \(2R\)，约掉后得 \(\sin A\cos B=\sin B\cos A\)，即 \(\sin(A-B)=0\)，所以 \(A=B\)。每一项的边数相同，\(2R\) 才约得掉，等式就全变成了角。
桥接例题
在 \(\triangle ABC\) 中，\((2a-c)\cos B=b\cos C\)。(1) 求 \(B\)；(2) 若 \(b=\sqrt7\)，\(a+c=4\)，求 \(\triangle ABC\) 的面积。
卡在哪里：等式里既有边又有角，余弦定理、正弦定理都不能直接算出 \(B\)。
看到什么信号：每一项都恰好含一条边，边的次数相同，可以用正弦定理整体换掉。
第一步怎么做：把 \(a,b,c\) 换成 \(2R\sin A,2R\sin B,2R\sin C\)，约去 \(2R\)，等式里只剩角。
完整解答：(1) 代入得 \((2\sin A-\sin C)\cos B=\sin B\cos C\)。移项得 \(2\sin A\cos B=\sin B\cos C+\cos B\sin C=\sin(B+C)=\sin A\)。因为 \(0^\circ<A<180^\circ\)，\(\sin A\ne0\)，两边约去得 \(\cos B=\dfrac12\)，又 \(0^\circ<B<180^\circ\)，所以 \(B=60^\circ\)。
(2) 由余弦定理，\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=(a+c)^2-3ac\)，即 \(7=16-3ac\)，\(ac=3\)。面积 \(S=\dfrac12ac\sin B=\dfrac{3\sqrt3}{4}\)。
只写关键一步：\(\triangle ABC\) 中，\(\sin^2B+\sin^2C-\sin^2A=\sin B\sin C\)。化成边之后是？
B。把 \(\sin A=\dfrac{a}{2R}\) 等代入，两边同乘 \(4R^2\)，得 \(b^2+c^2-a^2=bc\)。再由余弦定理 \(\cos A=\dfrac{bc}{2bc}=\dfrac12\)，\(A=60^\circ\)。
只写关键一步：\(\triangle ABC\) 中，\(b\sin A=\sqrt3a\cos B\)。边化成角并约分后得到？
D。代入得 \(\sin B\sin A=\sqrt3\sin A\cos B\)，因 \(\sin A\ne0\)，约去得 \(\sin B=\sqrt3\cos B\)。若 \(\cos B=0\)，则 \(\sin B=0\)，不可能，所以 \(\tan B=\sqrt3\)，\(B=60^\circ\)。选 B 是约分时只约了左边的 \(\sin A\)。
再深一点（可以先跳过）
三角形边 \(a,b,c\) 分别对角 \(A,B,C\)。由射影式 \(a=b\cos C+c\cos B\)、\(b=c\cos A+a\cos C\)、\(c=a\cos B+b\cos A\)，怎样组合能消去含 \(\cos A,\cos B\) 的项？
展开思路与核对
三式分别乘 \(a,b,c\)。将前两式相加，再减去第三式，得 \(a^2+b^2-c^2=2ab\cos C\)，即 \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)。钝角时投影带符号，三式仍成立。
以 \(C\) 为原点、\(CB\) 为 \(x\) 轴，取 \(A\) 在上半平面。已知 \(C(0,0),B(a,0),CA=b\)，你能写出 \(A\) 的坐标，再由距离公式求 \(AB^2\) 吗？
展开思路与核对
向量直角坐标系推导：以 \(C\) 为原点，\(CB\) 为 \(x\) 轴，则 \(C(0,0)\)，\(B(a,0)\)，\(A(b\cos C, b\sin C)\)。由两点间距离公式展开 \(c^2=(b\cos C-a)^2+(b\sin C)^2=a^2+b^2-2ab\cos C\)。代数、几何与向量在此完美统一。
① 任意三角形：拖动顶点，实时验证正余弦定理
拖动顶点 \(A\)、\(B\)、\(C\)（或用 Tab 聚焦后按键盘方向键移动），观察三边长、三个内角、外接圆直径 \(2R\) 的数值变化，实时核对正弦定理与余弦定理。
② 进阶：两边及一对角（SSA）为什么会出现两解、一解或无解
固定角 \(A=30^\circ\)，固定边 \(AC=b=6.0\)。滑动改变对边 \(a\) 的长度，观察以点 \(C\) 为圆心、半径为 \(a\) 的圆与底边射线的交点情况。
从易到难排好了。前两道直接用公式，中间三道是解三角形最容易踩的坑，最后一道是综合挑战。
直接用
1. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(C=60^\circ\)，边 \(c\) 的长度是？
A。根据余弦定理：\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=9+25-2\times3\times5\times\dfrac{1}{2}=34-15=19\)，开方得 \(c=\sqrt{19}\)。
选 B 的同学将减号算成了加号（\(34+15=49=7^2\)）；选 C 的同学当作直角三角形漏掉了余弦项；选 D 忘了开方。
2. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(A=30^\circ\)，\(B=45^\circ\)，边 \(a=4\)，则边 \(b\) 的长及外接圆直径 \(2R\) 分别是？
A。由正弦定理 \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=2R\)。外接圆直径 \(2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{4}{\sin 30^\circ}=\dfrac{4}{1/2}=8\)；边 \(b=2R\sin B=8\sin 45^\circ=8\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\)。
选 B 的同学把外接圆直径 \(2R\) 误当成半径 \(R\) 来算。
易错
3. 在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(a=\sqrt{3}\)，\(b=\sqrt{2}\)，\(B=45^\circ\)，则角 \(A\) 的大小为？
C。由正弦定理：\(\sin A=\dfrac{a\sin B}{b}=\dfrac{\sqrt{3}\sin 45^\circ}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。
在 \((0^\circ, 180^\circ)\) 内，正弦值为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 的角有两个：\(60^\circ\) 与 \(120^\circ\)。
必须用“大边对大角”检验：\(a=\sqrt{3}>\sqrt{2}=b\)，因此要求 \(A>B=45^\circ\)。若 \(A=60^\circ\)，\(A+B=105^\circ<180^\circ\)；若 \(A=120^\circ\)，\(A+B=165^\circ<180^\circ\)。两解均合法！选 A 的同学掉入了“只取锐角”的典型陷阱。
4. 在 \(\triangle ABC\) 中，已知三边长分别为 \(a=3, b=5, c=8\)，求角 \(C\) 的度数。
D。若盲目代入余弦定理：\(\cos C=\dfrac{3^2+5^2-8^2}{2\times3\times5}=\dfrac{34-64}{30}=-1\)，容易误以为 \(C=180^\circ\)（选 A）。
但是三角形任意内角都必须严格在 \((0^\circ, 180^\circ)\) 之间！更根本的前提是：两边之和必须大于第三边。而 \(3+5=8=c\)，三点共线退化，根本围不成三角形。做解三角形题必须先检查三边能否构成三角形。
5. 在 \(\triangle ABC\) 中，若三边满足 \(a^2+b^2<c^2\)，则 \(\triangle ABC\) 一定是？
A。由余弦定理：\(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)。因为 \(a^2+b^2<c^2\)，分子为负数，分母 \(2ab>0\)，所以 \(\cos C<0\)。
在三角形内角范围 \((0^\circ, 180^\circ)\) 内，余弦为负的角只能在第二象限，因此角 \(C\) 必然是钝角！
注意：反过来若只说“三角形是钝角三角形”，不能直接断定 \(a^2+b^2<c^2\)，除非已知 \(c\) 是最长边。
挑战
6. 在 \(\triangle ABC\) 中，已知边 \(b=2\)，\(c=3\)，且三角形面积 \(S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)，则边 \(a\) 的值为？
C。由面积公式 \(S=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}\times2\times3\times\sin A=3\sin A=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \implies \sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。
在三角形内，正弦值为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 的角有 \(A=60^\circ\) 或 \(A=120^\circ\) 两种可能！
- 若 \(A=60^\circ\)：\(a^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos 60^\circ=13-6=7 \implies a=\sqrt{7}\)；
- 若 \(A=120^\circ\)：\(a^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos 120^\circ=13-(-6)=19 \implies a=\sqrt{19}\)。
两种情形下的边长与角度均满足三角形存在条件，故边 \(a\) 的值为 \(\sqrt{7}\) 或 \(\sqrt{19}\)。选 A 的同学又忽略了钝角解。
本节高考真题
共 79 道，含 38 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 20.1 勾股定理及其应用初中勾股定理 $a^2+b^2=c^2$ 是直角三角形的三边定量关系，高中利用向量数量积将其推广为任意三角形的余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 与解三角形。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。
打开一试专题地图，还有 1 个专题也以这一节为先修