2008 年安徽预赛 · 第 3 题

解答

余弦以$360^{\circ }$为周期，一整周期的$360$项之和为$0$（相隔$180^{\circ }$的项相消）。由于$2008=5\cdot 360+208$，所求和等于

在$1^{\circ }$到$180^{\circ }$的和中，$\cos k^{\circ }+\cos (180-k{)}^{\circ }=0$（$1\le k\le 89$），且$\cos 90^{\circ }=0$，只余$\cos 180^{\circ }=-1$。因此

因$0<\cos k^{\circ }<1$（$1\le k\le 28$），有$-29<S<-1$。故$S$到$-1$的距离小于$28$；到$1$的距离比到$-1$大$2$，到$\pm 2008$的距离均大于$1979$。最接近的是$\boxed{-1}$，选$\boxed{\mathrm{B}}$。