2024 年甘肃预赛

复核

圆的条件与上述参数答案相容，但不强制它成为一个固定常数。下面给出两组完整构型。 两组都取圆心 $(\pi /3,0)$、半径 $5\pi /12$。 第一组令

它在 $x=-\pi /6$ 处为零，且在 $x=0,2\pi /3$ 处的函数值分别为 $\pi /4,-\pi /4$， 对应两点都在圆上。为检查没有其他交点，令 $t=12(x-\pi /3)/\pi$， 圆与图象的交点方程成为

左边是偶函数。在 $0\le t<\sqrt{13}$ 时它小于 $25$；在 $t=\sqrt{13}$ 时， 取等将要求 $\sqrt{13}=3+6j$，也不可能。 在 $\sqrt{13}\le t\le 5$ 上，左边的导数 $2t+2\pi \sin (\pi t/3)$ 不小于 $2\sqrt{13}-2\pi >0$。 由于 $t=4$ 确为一根，全部交点恰为 $t=\pm 4$，即原指定的两个横坐标。 这组函数的差函数最大值为 $\pi /(2\sqrt{3})$。

第二组令

同样满足零点条件，两指定横坐标上的函数值均为 $\pi /4$。 令 $s=3(x-\pi /3)/\pi$，交点方程为

在 $|s|<1$ 时左边严格小于 $25$；在 $1<s\le 5/4$ 时，其导数 $32s-9\pi \sin (2\pi s)\ge 32-9\pi >0$。 故全部根恰为 $s=\pm 1$，也恰有原指定的两个交点。 这组最大值为 $\pi \sqrt{2}/4$。 两组均满足 $A>0,\omega >0,0<\phi <\pi$，而最大值不同。 参数公式分别给出这些值，没有改求所有合法参数的集合，也没有把未验证的交点当成全部交点。