2008 年天津预赛 · 第 4 题

若方程 $a^{x} + 2 x - 4 = 0$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）的所有根为 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k}$ ，其中 $k$ 为正整数；方程 $lo g_{a} (2 x) + x - 2 = 0$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）的所有根为 $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l}$ ，其中 $l$ 为正整数，则

\frac{u _{1} + u _{2} + \dots + u _{k} + v _{1} + v _{2} + \dots + v _{l}}{k + l}

的值为（）。

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$1$
D.
$2$

作答

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

关键是发现两个方程的根集可作仿射双射，而非分别求出超越方程的根；要同时验证对数真数合法、对应可逆及每对根的和，从而控制根数变化下的整体平均值。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：对称配对：和差分离

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