必修第一册 · 第 4 章指数函数与对数函数

4.1 指数

从方根和根式认识分数指数，再用有理数逼近理解无理数指数。统一的实指数运算先取正底数；遇到零或负底数，要按相应定义单独核对。

一份细菌培养物，每半小时都乘相同的倍数，一小时后变成原来的 $2$ 倍。

每半小时大约变成原来的几倍？先猜一猜。

动手试倍数（可选）

B。约 $1.41$ 倍，因为 $1.41\times1.41\approx1.99$，接近 $2$。两段半小时，要把倍数连乘两次。

详细解释

这里用理想的连续增长模型描述相对数量：相同时长总乘相同倍数。仅知道整点翻倍，还不能确定半小时的增长倍数。

试一试：$1.5\times1.5=2.25$，多了；$1.41\times1.41\approx1.99$，差不多正好；$1\times1=1$、$2\times2=4$ 都不对。B。

增长倍数为正，要找的数满足 $x^2=2$，取 $x=\sqrt2\approx1.414$。有限小数 $1.414$ 不是 $\sqrt2$ 的精确值；$1.414^2=1.999396$，仍略小于 $2$。

$1$ 小时乘 $2^1$，$2$ 小时乘 $2^2$，那半小时自然想写成 $2^{\frac12}$。这一节就讲：$2^{\frac12}$、$8^{\frac23}$ 甚至 $2^{\sqrt2}$ 是什么意思，又该怎么算。

1. 先认识几个词：方根、根式与底数条件

要用到：初中的整数指数幂、平方根、立方根和绝对值；3.3 的幂函数图象（回看 3.3）。先看下面这幅微图解：

直觉微图解 ①分数指数与根式：先看条件，再做运算

根次与奇偶奇次方根（来去自由）vs 偶次方根（双根与绝对值）

这里 $n>1$ 为整数。奇数 $n$ 时，$x^n=a$ 对任意实数 $a$ 有唯一实根。偶数 $n$ 时，正数有两个相反数根，零有根零，负数没有实根；偶次根式只表示非负根。对实数 $a$，$\sqrt[n]{a^n}$ 在奇数 $n$ 时为 $a$，偶数 $n$ 时为 $|a|$。

符号陷阱指数负号（取倒数指令）vs 数值负号（正负性质）

指数上的负号是“降到分母取倒数”的动作指令，比如 $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}>0$！绝不是把整个数变成负数（千万别写成 $-8$ 或 $-\dfrac{1}{8}$）！

2. 核心数学运算法则与根式幂化总览表

统一分数指数先取 $a>0$、整数 $m$、整数 $n>1$：

$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$。分母开方、分子乘方。

$a,b>0$，$r,s\in\mathbb R$ 时：$a^r a^s=a^{r+s}$，$a^r/a^s=a^{r-s}$；$(a^r)^s=a^{rs}$，$(ab)^r=a^r b^r$。

零与负底数单独核对：非零实数 $a$ 满足 $a^0=1$、$a^{-n}=1/a^n$（正整数 $n$），例如 $(-2)^{-3}=-1/8$。

零的正分数指数幂约定为零；$0^0$ 和零的负指数幂在本节不定义。负底数的整数幂、负数的奇次根仍可直接按各自定义计算；不能无条件套用上面的统一实指数法则。

例 1（辨清次方根与根式记号）

（1）$3^4=81$，$(-3)^4=81$，所以 $81$ 的 $4$ 次方根是 $\pm3$，而根式 $\sqrt[4]{81}=3$ 只指正根。

（2）奇次根符号原样保留：$(-3)^3=-27 \implies \sqrt[3]{-27}=-3$；$2^5=32 \implies \sqrt[5]{32}=2$。

（3）$-16$ 的偶次方根：实数范围内没有，实数偶次方必然非负，$\sqrt[4]{-16}$ 无意义。

自己试试：“$16$ 的 $4$ 次方根”和“$\sqrt[4]{16}$”分别是什么？

C。$2^4=16$，$(-2)^4=16$，所以 $16$ 的 $4$ 次方根有两个：$\pm2$。

根式 $\sqrt[4]{16}$ 是一个确定的数，只取非负的那个，等于 $2$。本题被开方数为正，所以偶次方根有两个；被开方数为零时只有零这一个根。偶次根式始终只表示非负的那个数。

例 2（先乘方再开方：绝对值护甲）

（1）$\sqrt[3]{(-5)^3}=-5$：奇次开方，原样拿出来。

（2）$\sqrt{(3-\pi)^2}=|3-\pi|=\pi-3$：偶次开方，先套绝对值，由 $3-\pi<0$ 脱绝对值变号！

（3）$x<1$ 时，$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|=1-x$。

自己试试：$\sqrt[4]{(-3)^4}+\sqrt[3]{(-3)^3}=$？

B。$\sqrt[4]{(-3)^4}=\sqrt[4]{81}=3$（偶次，是 $|-3|$），$\sqrt[3]{(-3)^3}=-3$（奇次），和是 $0$。选 A 的同学把两个都当成“直接抵消”得 $-3$；$(-3)^4=81$ 是正数，开 $4$ 次方完全有意义。

负底数的整数次幂没问题：$(-2)^3=-8$，$(-2)^{-2}=\dfrac14$，$(-2)^2\cdot(-2)^3=(-2)^5=-32$。整数幂可以另按定义计算；不能因此把正底数下对任意实数指数成立的全部规则推广到负底数。

3. 三步破题思维链：化根为幂与指数化简

例 3（示范：根式化简与指数混合运算三步法）

化简并求值：$\left(2\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} - (-9.6)^0 - \left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} + \left(\sqrt[3]{-2}\right)^3$。

👀 看到什么 → 想什么：

看到根式、分数指数或负指数混在一起 → 先统一写成幂，再按指数运算法则化简。
底数为负或指数含分母 → 先检查定义条件，奇次根与偶次根的处理不能混用。

🔧 第二步底数分解质因数化分数指数： $\left(\dfrac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}$；
$\left(\dfrac{27}{8}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^3\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$。

🛡️ 第三步合并分数并复核符号：原式 $= \dfrac{3}{2} - 1 - \dfrac{9}{4} + (-2) = \dfrac{6}{4} - \dfrac{4}{4} - \dfrac{9}{4} - \dfrac{8}{4} = -\dfrac{15}{4}$！

自己试试：$8^{-\frac23}=$？

B。$8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]8\right)^2=4$，再取倒数得 $\dfrac14$。选 A 的同学把负指数当成了前面加负号；选 C 的是忘了负号。

例 4（实数指数幂运算性质，$a>0, b>0$）

（1）$\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac12}\cdot a^{\frac23}=a^{\frac12+\frac23}=a^{\frac76}$。

（2）$\left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6=a^{\frac12\times6}\,b^{\frac13\times6}=a^3b^2$。

（3）$4^{\frac32}\times8^{-\frac13}=\left(2^2\right)^{\frac32}\times\left(2^3\right)^{-\frac13}=2^3\times2^{-1}=4$：换成同一个底数 $2$ 再算。

自己试试：$a>0$，$a^{\frac13}\cdot a^{\frac12}\div a^{\frac16}=$？

B。同底相乘指数相加，相除指数相减：$\dfrac13+\dfrac12-\dfrac16=\dfrac23$。选 A 的同学把“乘”做成了指数相乘、“除”做成了指数相除：$\dfrac13\times\dfrac12\div\dfrac16=1$。

例 5（无理数指数幂：有理数夹逼）

由 $1.4<\sqrt2<1.5$，得 $2^{1.4}<2^{\sqrt2}<2^{1.5}$。其中 $2^{1.5}=2^{\frac32}=2\sqrt2\approx2.83$，$2^{1.4}=2^{\frac75}\approx2.64$。目标被前面两个精确的幂值夹住；小数是它们的近似读数，不把四舍五入后的数当作严格界。继续细分有理数指数，夹逼就更贴近。

自己试试：已知 $1<\sqrt3<2$，$3^{\sqrt3}$ 在哪两个数之间？

B。底数 $3>1$，$3^1<3^{\sqrt3}<3^2$，即在 $3$ 和 $9$ 之间（其实约 $6.7$）。选 A 的同学拿 $\sqrt3$ 本身（约 $1.73$）去比了，忘了它是指数。

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

翻车现场 ①偶次根式直接开方脱壳，忽视绝对值护甲

❌ 典型错解：看到 $\sqrt{(x-1)^2}$ 直接化简写成 $x-1$。

✅ 看右图秒懂真相：若 $x<1$，$x-1$ 实为负数！根式开出来绝不能为负！正确化简必须先挂绝对值：$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|=1-x$！

给定 $x<1$ 只看绿支：$y=|x-1|=1-x$。在 $x=0$ 时正确值为 $1$，错式 $x-1$ 给 $-1$。空心点 $(1,0)$ 不属于给定区间。

翻车现场 ②把正底数的根式互化规则套到负底数

❌ 典型错解：写出 $(-27)^{\frac{1}{3}} = (-27)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-27)^2} = 3$。

✅ 一眼看清真相：这里混淆了两个不同的根式：$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt[6]{(-27)^2}=3$。它们不是同一个幂的两个值。本节统一实指数体系用正底数；负数奇次根直接用根式求，不把正底数下的全部互化法则搬过去。

翻车现场 ③把指数上的负号看成整个数值的负号

❌ 典型错解：算 $4^{-\frac{1}{2}}$ 随手写出 $-2$ 或 $-\dfrac{1}{2}$。

✅ 一眼看清真相：指数上的负号是“降到分母取倒数”，绝对不能把负号提到前面来！$4^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{1}{2} > 0$！

再深一点（可以先跳过）

当 $a>0$ 时，$1/3=2/6$，为什么 $\sqrt[3]{a}$ 与 $\sqrt[6]{a^2}$ 一定同值？如果底数为负，论证的哪一步失效？

展开思路与核对

为什么同一个分数换写法，正底数不会出两个值：$a>0$ 时 $\sqrt[6]{a^2}$ 和 $\sqrt[3]{a}$ 都是正数，六次方都等于 $a^2$，而正数的六次方根只有一个正的，所以相等。负底数时 $\sqrt[3]{-27}$ 是负的，$\sqrt[6]{729}$ 是正的，这条论证就断了。

① 看见 n 次方根

绿色曲线是 $y=x^n$，金色水平线是 $y=a$。交点的横坐标就是方程 $x^n=a$ 的解，也就是 $a$ 的 $n$ 次方根。上下拖动右边的圆点改 $a$（或 Tab 选中后按方向键），点按钮换 $n$。试试：$n$ 取偶数时把 $a$ 拖到负数，交点去哪了？$n$ 取奇数时呢？

② 进阶：把 $2^{\sqrt2}$ 夹出来

拖动滑块（或选中后按方向键），多取一位 $\sqrt2$ 的小数。每一行是一对分数指数 $r_1<\sqrt2<r_2$，条形从 $2^{r_1}$ 画到 $2^{r_2}$，红色虚线是 $2^{\sqrt2}$ 的位置。区间窄于一个图坐标单位时只画位置细刻线，严格上下界以下方指数为准，不放大成假区间。

小数位数：1

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. $27^{\frac23}+16^{-\frac12}=$？

C。$27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=9$，$16^{-\frac12}=\dfrac1{\sqrt{16}}=\dfrac14$，和是 $\dfrac{37}{4}$。选 A 的同学把 $16^{-\frac12}$ 算成了 $-4$；选 B 的把 $27^{\frac23}$ 算成了 $27\times\dfrac23=18$。

2. $a>0$，化简 $\dfrac{a^2}{\sqrt a\cdot\sqrt[3]{a^2}}$。

B。分母 $=a^{\frac12}\cdot a^{\frac23}=a^{\frac76}$，所以原式 $=a^{2-\frac76}=a^{\frac56}$。选 A 的同学把分母算成了 $a^{\frac12\times\frac23}=a^{\frac13}$；选 C 的把除法做成了加。

易错

3. $x$ 是任意实数，$\sqrt{x^2}$ 化简后等于什么？

C。对应“偶次根式取非负”这一条。觉得“先平方再开方，抵消了”会选 A，拿 $x=-3$ 试：$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3$，不是 $-3$。

选 B 是把“$9$ 的平方根是 $\pm3$”和“$\sqrt9$”混了：$\sqrt{x^2}$ 一定 $\ge0$，$x\ge0$ 时是 $x$，$x<0$ 时是 $-x$，合起来就是 $|x|$。

4. 小明这样算：$(-8)^{\frac13}=(-8)^{\frac26}=\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2$。问题出在哪？

B。对应“互化之前先查底数条件”这一条。$\frac13=\frac26$ 没错，错在把正底数下才成立的规则用到了 $-8$ 上。

$-8$ 的立方根回到根式去算：$\sqrt[3]{-8}=-2$。C 也不对：$\sqrt[6]{64}$ 是偶次根式，只取 $2$。

5. $0^{\frac23}$ 和 $0^{-\frac23}$ 各是多少？

D。对应“底数是 $0$”这一条。$0^{\frac23}=\sqrt[3]{0^2}=0$，正分数指数幂没问题。

$0^{-\frac23}=\dfrac{1}{0^{\frac23}}=\dfrac10$，分母为 $0$，没有意义。选 C 的同学可能想到了 $a^0=1$，但这里指数是 $-\frac23$，不是 $0$。

再看三层嵌套根式，练习从里往外化指数；下面是一道同类例题。

挑战

6. 已知 $a>0$ 且 $a^{\frac12}+a^{-\frac12}=3$，求 $a+a^{-1}$。

A。不用解出 $a$，两边平方：$\left(a^{\frac12}+a^{-\frac12}\right)^2=a+2\,a^{\frac12}a^{-\frac12}+a^{-1}=a+2+a^{-1}=9$，所以 $a+a^{-1}=7$。

中间项 $a^{\frac12}\cdot a^{-\frac12}=a^0=1$。选 B 的同学平方时漏了中间的 $2$。（根式要求 $a\ge0$，而负二分之一次幂还要求分母非零，两者合起来才是 $a>0$。）

先独立完成本题，再看视频核对平方展开的中间项，并尝试继续求 $a^2+a^{-2}$。

本节高考真题

共 2 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 16.1 幂的运算初中正整数指数幂的同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方运算法则，在高中依次推广到分数指数幂与无理数指数幂。
初中 · 18.4 整数指数幂初中引入零指数幂 $a^0=1$ 与负整数指数幂 $a^{-n}=1/a^n$，打通了指数从正整数向全体实数连续扩充的第一步。
初中 · 19.1 二次根式及其性质初中二次根式 $\sqrt a$ 与七下立方根 $\sqrt[3]{a}$ 的性质，在高中推广为 $n$ 次方根 $\sqrt[n]{a}$ 并统一改写为分数指数幂 $a^{m/n}$。

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