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必修第一册 · 第 4 章 指数函数与对数函数

4.3 对数

已知底数和幂，反过来求指数——这就是对数。学会指对互化、三条运算性质和换底公式，并且每一步都先看“有没有意义”。先从逐轮倍增的通知人数反求轮数。

班长通知 \(2\) 个新人，算第 \(1\) 轮。接着每人再通知 \(2\) 个新人：第 \(2\) 轮 \(4\) 人，第 \(3\) 轮 \(8\) 人……

哪一轮新通知的人数刚好是 \(32\)？先选一选。

1. 先认识几个词：从指数式反问“几次方”

要用到：4.1 的指数幂运算（回看 4.1）；4.2 里 \(a>0\) 时 \(a^x>0\) 恒正的真数红线（回看 4.2）。先看下面这幅微图解：

直觉微图解 ①对数的定义、运算与换底

生命红线真数必须严格大于 0（负数与 0 无对数）

对数是在解 \(a^b=N\)。因为 \(a>0\) 时 \(a^b\) 恒为正数，永远不可能得到 0 或负数！因此式子 \(\log_2(-4)\) 与 \(\log_2 0\) 在实数世界彻底无意义！解对数题第一步先验真数！

运算伪法则积变和 vs 假想的“和拆和”

只有“积的对数”能拆成“对数的和”：\(\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N\)！不存在把和拆成对数和的通用法则。例如底数为 2、两个真数都为 1 时，左边是 1，右边是 0。个别数值碰巧相等不能作为运算法则。

2. 核心数学定义、性质与换底法则

以下均在实数范围，底数 \(a>0,\ a\ne1\)。

定义：\(a^b=N\iff b=\log_a N\)，其中 \(N>0\)。

积：\(\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N\)；

商：\(\log_a(M/N)=\log_a M-\log_a N\)。两式都要求 \(M>0,N>0\)。

幂：\(\log_a(M^r)=r\log_a M\)，其中 \(M>0,r\in\mathbb R\)。

换底：\(\log_a N=\dfrac{\log_c N}{\log_c a}\)，其中 \(N>0,c>0,c\ne1\)，分母 \(\log_c a\ne0\)。

记号：\(\lg N=\log_{10}N\)，\(\ln N=\log_e N\)，\(e\approx2.718\)，均要求 \(N>0\)。

例 1（指对互化求值）

(1) 把 \(3^4=81\) 写成对数式：底数 \(3\)，指数 \(4\)，幂 \(81 \implies \log_3 81=4\)。

(2) 求 \(\log_3\dfrac19\)：设 \(3^b=\dfrac19=3^{-2} \implies b=-2\)。

(3) 特殊值（底数正且不为 1）：\(\log_a 1=0\)（因为 \(a^0=1\)），\(\log_a a=1\)，\(a^{\log_a N}=N\)（\(N>0\)），\(\log_a(a^t)=t\)（\(t\in\mathbb R\)）。

自己试试：\(\log_2\dfrac18=\)？

B。\(\dfrac18=2^{-3}\)，所以 \(\log_2\dfrac18=-3\)。选 A 的同学丢了负号（\(2^3=8\)，不是 \(\dfrac18\)）；选 C、D 的同学把“取倒数”和“指数开方”弄混了。

同类例题视频：用底数 2 练习指对互化、特殊值和恒等式。

例 2（三大对数运算法则）

(1) \(\lg2+\lg5=\lg(2\times5)=\lg10=1\)。

(2) \(\log_3 18-\log_3 2=\log_3\dfrac{18}{2}=\log_3 9=2\)。

(3) \(\log_2 8^5=5\log_2 8=5\times3=15\)。

自己试试：\(\log_6 4+\log_6 9=\)？

A。对数相加，真数相乘：\(\log_6(4\times9)=\log_6 36=2\)。选 C 的同学把真数加了起来——对数没有这条法则。

两个推论（都可以用换底公式推）：第一式要求 \(a,b>0\) 且 \(a,b\ne1\)；第二式要求 \(a>0,a\ne1,b>0,m\ne0,n\in\mathbb R\)。\(\log_a b\cdot\log_b a=1\)；\(\log_{a^m}b^n=\dfrac nm\log_a b\)（\(m\ne0\)）。例如 \(\log_8 3=\log_{2^3}3=\dfrac13\log_2 3\)。

3. 三步破题思维链：换底公式与混合对数化简

例 3（示范：异底对数求值三步法思维链）

计算：\(\log_2 3 \cdot \log_3 4 + \log_4 64 - 2^{\log_2 3}\)。

👀 看到什么 → 想什么：
  • 对数底数不同或出现对数乘积 → 想换底公式，把底和真数化到同一基准。
  • 出现 a^{log_a b} 或 log_a a → 先识别互逆关系，直接消去指数与对数。
🔧 第二步底与真数化同质幂并提指数： 对 \(\log_4 64\)，底数 \(4=2^2\)，真数 \(64=2^6\)：
\(\log_4 64 = \dfrac{\lg 64}{\lg 4} = \dfrac{6\lg 2}{2\lg 2} = 3\)；
对对数恒等式：\(2^{\log_2 3} = 3\)。
🛡️ 第三步合并分数并复核真数严格为正： 原式 \(= 2 + 3 - 3 = 2\)！

自己试试：\(\log_9 27=\)？

B。\(\dfrac{\lg27}{\lg9}=\dfrac{3\lg3}{2\lg3}=\dfrac32\)。选 A 的同学算了 \(27\div9\)——换底后是两个对数相除，不是真数相除；选 C 的同学分子分母放反了。

4. 用之前必查：三大高频翻车现场

翻车现场 ①解对数方程合并后未检验真数，混入增根
❌ 典型错解：由 \(\log_2 x+\log_2(x-1)=1\)，合并解得 \(x=2\) 或 \(x=-1\)，两解全留。
✅ 看右图秒懂真相：原方程要求 \(x>0\) 且 \(x-1>0 \implies x>1\)！代入 \(x=-1\) 导致真数为负彻底违规，必须果断舍弃，仅 \(x=2\)！
翻车现场 ②凭空造出“对数和拆开”伪运算法则
❌ 典型错解：把 \(\log_a(x+y)\) 拆成 \(\log_a x + \log_a y\)；或把 \(\dfrac{\log_a M}{\log_a N}\) 当作 \(\log_a(M-N)\)。
✅ 一眼看清真相：对数只把“真数相乘”拆为“对数相加”！\(\log_2(1+1)=\log_2 2=1\)，而 \(\log_2 1+\log_2 1=0\ne1\)！
翻车现场 ③真数偶次方提指数，漏加绝对值护甲
❌ 典型错解：把 \(\lg x^2\) 直接提成 \(2\lg x\)。
✅ 一眼看清真相：若 \(x=-10\)，原式 \(\lg(-10)^2=\lg 100=2\) 完全有意义，但 \(2\lg(-10)\) 根本无意义！正确化简必须戴绝对值：\(\lg x^2 = 2\lg|x|\)，条件是 \(x\ne0\)。
再深一点（可以先跳过）

对数的幂法则 \(\log_a(M^r)=r\log_a M\) 为什么不只适用于整数 \(r\)？试令 \(M=a^p\) 解释。

展开思路与核对

为什么幂法则对任意实数 \(r\) 都成立：先有 \(a>0,a\ne1,M>0\)，令 \(M=a^p\)，则 \(M^r=(a^p)^r=a^{pr}\)，这条指数法则在 4.1 里对实数指数都成立，所以 \(\log_a M^r=pr=r\log_a M\)。

不用展开 \(2^{10}\)，能否借助 \(\lg2\approx0.301\) 判断它是几位数？需要把它夹在哪两个十的整数次幂之间？

展开思路与核对

数位数：\(\lg2\approx0.301\)，所以 \(\lg2^{10}=10\lg2\approx3.01\)，\(2^{10}\) 在 \(10^3\) 和 \(10^4\) 之间，是 \(4\) 位数（确实 \(2^{10}=1024\)）。高考真题里估算大数，用的就是这个办法。

① 在指数曲线上读出对数

绿色曲线是 \(y=a^x\)。开始时 \(a=2\)、\(N=4\)，虚线和曲线的交点横坐标是 \(2\)，就是 \(\log_2 4=2\)。图中横轴记作 \(b\)（指数，也就是对数值），纵轴记作 \(N\)（幂的结果）。用滑块改底数 \(a\) 和真数 \(N\)，也可拖动纵轴蓝点（也可以 Tab 选中后按上下方向键）。看懂以后再试边界：把 \(N\) 拖到 \(0\) 以下，再把 \(a\) 调到 \(1\)。

挑战：让 \(b\) 恰好等于 \(-1\)。

② 进阶：对数会拆积，不会拆和

用上面同一个底 \(a\)，改 \(M\)、\(N\)，比一比“积的对数”“和的对数”和“对数的和”。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. \(\lg25+\lg4=\)？

A。\(\lg25+\lg4=\lg(25\times4)=\lg100=2\)。选 C 的同学算到真数 \(100\) 就停了，还差最后一步“\(10\) 的几次方是 \(100\)”；选 B 是把真数加了起来。

2. \(\log_2 3\cdot\log_3 8=\)？

A。换成常用对数：\(\dfrac{\lg3}{\lg2}\cdot\dfrac{\lg8}{\lg3}=\dfrac{\lg8}{\lg2}=\dfrac{3\lg2}{\lg2}=3\)。选 B 的同学约掉 \(3\) 后把 \(\log_2 8\) 当成了 \(8\)；选 D 的同学以为两个对数“互为倒数”，可 \(\log_2 3\) 的倒数是 \(\log_3 2\)，不是 \(\log_3 8\)。

易错

3. \(\log_2(4+4)\) 等于多少？

B：\(4+4=8=2^3\)，所以 \(\log_2 8=3\)。

选 A 的同学把 \(\log\) 当成了括号，往加号里面“分配”。对数没有“和的对数等于对数的和”这条法则；真正的法则是积的对数等于对数的和：\(\log_2(4\times4)=\log_2 4+\log_2 4=4\)。拿不准时，先把真数算出来，再问“\(2\) 的几次方”。

同底积、商、幂综合视频：先合并求值，再用对数尺检查“和不能直接拆开”的反例。

4. 等式 \(\lg x^2=2\lg x\) 什么时候成立？

B。左边 \(\lg x^2\) 在 \(x\ne0\) 时都有意义，比如 \(x=-10\)：\(\lg100=2\)。但右边 \(2\lg(-10)\) 没有意义，等式不成立。

幂的法则 \(\log_a M^r=r\log_a M\) 要求 \(M>0\)，不能因为 \(M^r\) 有意义就跳过它。\(x\ne0\) 时正确的写法是 \(\lg x^2=2\lg|x|\)。

5. 解方程 \(\lg x+\lg(x-3)=1\)。

B。合并成 \(\lg[x(x-3)]=1\)，得 \(x^2-3x=10\)，\(x=5\) 或 \(x=-2\)。

可原方程要 \(x>0\) 且 \(x-3>0\)，即 \(x>3\)。\(x=-2\) 代回去，\(\lg(-2)\) 没有意义，舍去。

问题出在合并那一步：\(\lg[x(x-3)]\) 只要求乘积为正，比原来两个真数各自为正宽，多出来的解要靠检验删掉。所以先写条件、最后验解。

挑战

6. 已知 \(\lg2=a\)，\(\lg3=b\)。用 \(a\)、\(b\) 表示 \(\log_{12}5\)。

A。换成常用对数：\(\log_{12}5=\dfrac{\lg5}{\lg12}\)。

分子：\(5=\dfrac{10}{2}\)，\(\lg5=\lg10-\lg2=1-a\)。分母：\(12=2^2\times3\)，\(\lg12=2\lg2+\lg3=2a+b\)。

选 B 的同学把 \(12\) 拆成了 \(2\times3\)（那是 \(6\)）；选 C 的同学把 \(\lg\dfrac{10}{2}\) 写成了加；D 是把真数直接相除。

本节高考真题

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

幂指对解不等式

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