培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第一册 · 第 3 章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
研究直线、平方、立方、平方根和倒数这五个常见函数：先看定义域，再看图象，再用性质比大小。先从几个身边的量开始。
取无量纲数 \(x=4\)，比较四个算式的数值。几何图帮助解释计算，不能把面积与体积当作同类量按图形大小排行。
哪个算式的数值最大？
算一算：A 是 \(4^2=16\)，B 是 \(4^3=64\)，C 是 \(\sqrt4=2\)，D 是 \(\dfrac14\)。B 最大。
把 \(4\) 换成 \(x\)：四个量分别是 \(x^2\)、\(x^3\)、\(\sqrt x\)、\(\dfrac1x\)，再加上最简单的 \(x\) 本身。它们都是“\(x\) 的几次方”，只是次数不同。
这一节就研究这五个函数：每个能取哪些 \(x\)、图象长什么样、谁大谁小。
1. 先认识几个词：从“五大典型幂函数交于 (1,1)”建立直觉
要用到：3.1 的定义域（回看 3.1）；3.2 的单调性和奇偶性（回看 3.2）。先看下面这幅微图解：
直觉微图解 ①第一象限：五个典型幂函数
结构特征幂函数 \(y=x^\alpha\) vs 指数函数 \(y=a^x\)
幂函数形如 \(y=x^\alpha\)，底数是自变量，指数固定；本节只研究下列五种。不能额外乘一个系数或加一项。\(y=2^x\) 的指数在变，留到第 4 章学习；\(y=2x^2\)、\(y=x^2+1\) 都不是幂函数。
高低翻转以 (1,1) 为界，五大图象高低次序完全逆转！
在 \((0,1)\) 内，多次方“越乘越小”，小指数在上方、大指数在下方；一旦跨过 \(x=1\)，多次方“爆炸增长”，大指数在上、小指数在下！
2. 核心数学定义与性质总览表
幂函数 \(y=x^\alpha\) 的指数固定。本节研究 \(\alpha=1,2,3,\frac12,-1\)，自然定义域和性质分别见下表；不作一般实数指数的系统分类。
只在同一个正输入处比较这五个函数：当 \(0<x<1\)，有 \(x^3<x^2<x<\sqrt x<1/x\)；当 \(x>1\)，次序反转。\(x=1\) 时五个值都为 \(1\)。负输入须另看定义域和具体性质。
幂函数都过 \((1,1)\)，但只过这个点还不够，例如 \(y=x^2-x+1\) 也过它，却不是单一幂式；应回到定义判断。
例 1（辨别幂函数）
下面哪些是幂函数：\(y=x^4\)，\(y=4x\)，\(y=x^4+2\)，\(y=\dfrac1{x^3}\)，\(y=3^x\)，\(y=\sqrt[3]x\)？
逐个看是不是“\(x^\alpha\)，前面系数是 \(1\)，后面不加东西”：
\(y=x^4\)、\(y=\dfrac1{x^3}=x^{-3}\)、\(y=\sqrt[3]x=x^{\frac13}\) 是；\(y=4x\)（系数不是 1）、\(y=x^4+2\)（加了常数）、\(y=3^x\)（指数在变）不是。
自己试试：下面哪个是幂函数？
B，\(\dfrac1x=x^{-1}\)。A 多加了 \(1\)，D 多了系数 \(3\)。选 C 最常见：\(2^x\) 里变的是指数，底数不动，和幂函数正好反过来。
| 函数 | \(x\) | \(x^2\) | \(x^3\) | \(\sqrt x\) | \(\dfrac1x\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 定义域 | \(\R\) | \(\R\) | \(\R\) | \([0,+\infty)\) | \(x\ne0\) |
| 值域 | \(\R\) | \([0,+\infty)\) | \(\R\) | \([0,+\infty)\) | \(y\ne0\) |
| 奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
| 单调性 | 全域递增 | \((-\infty,0]\) 减，\([0,+\infty)\) 增 | 全域递增 | 全域递增 | 两个半轴分别递减 |
例 2（\(y=x^3\) 全貌分析）
说出 \(y=x^3\) 的定义域、值域、奇偶性、单调性。
定义域与值域均为 \(\mathbf{R}\)。\((-x)^3=-x^3=-f(x)\)，为奇函数，图象关于原点对称；在 \(\mathbf{R}\) 上单调递增，且过点 \((0,0)\) 与 \((1,1)\)。
自己试试：\(y=x^2\) 在哪个区间上递减？
B。任取 \(u<v\le0\)，有 \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)>0\)，所以平方函数在这整个区间上递减。例如 \(-3<-1\) 时，\(9>1\)。选 C 是把增区间当成了减区间；选 D 是只想着“越乘越大”，忘了负数那一边。
例 3（高低翻转检验）
分别取 \(x=4\) 和 \(x=\dfrac14\)，把五个函数值从小到大排。
\(x=4\)（>1）：\(\dfrac14 < 2 < 4 < 16 < 64\)，即 \(\dfrac1x < \sqrt x < x < x^2 < x^3\)。
\(x=\dfrac14\)（<1）：顺序正好相反：\(x^3 < x^2 < x < \sqrt x < \dfrac1x\)。
自己试试：\(x=\dfrac19\) 时，\(\sqrt x\) 等于？
B。\(\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac19\)。\(\dfrac13>\dfrac19\)，正好印证“\(0<x<1\) 时 \(\sqrt x>x\)”。选 A 是做成了平方，选 C 是除以了 \(2\)，选 D 是求成了倒数再开方。
3. 三步破题思维链：利用单调性比大小
例 4（示范：利用单调性比大小三步法思维链）
比较 \((-1.3)^2\) 和 \(1.2^2\)，以及 \(0.3^2\) 和 \(0.3\) 的大小。
- 比较幂函数值 → 先把底数移到同一单调区间，再用单调性比较。
- 底数为负或跨过 \(0,1\) → 先确认该幂函数在这段定义域上的具体性质；只有满足相应条件时，才能用偶性或倒数变形，不能直接套正底数的比较规则。
在 \([0,+\infty)\) 上 \(y=x^2\) 递增，且 \(1.3 > 1.2\)，故 \(1.3^2 > 1.2^2\)。
结论：\((-1.3)^2 > 1.2^2\)，\(0.3^2 < 0.3\)。
自己试试：比较 \(\dfrac1{2.5}\) 和 \(\dfrac1{3.1}\)。
A。都是 \(y=\dfrac1x\) 的值，它在 \((0,+\infty)\) 上递减，\(2.5<3.1\)，所以 \(\dfrac1{2.5}>\dfrac1{3.1}\)。选 B 是照搬了“自变量大，值就大”，那只对增函数成立。
4. 用之前必查：三大高频翻车现场
A(−2,4)、B(1,1)、A′(2,4)。先用偶对称将 A 对应到 A′，再在右半轴比较。
再深一点（可以先跳过）
交换 \(y=x^2\) 上各点的横、纵坐标，能得到 \(y=\sqrt x\) 吗？为什么要先限制 \(x\ge0\)？
展开思路与核对
\(\sqrt x\) 和 \(x^2\) 的图象：把 \(y=x^2\) 在 \(x\ge0\) 的那一半沿直线 \(y=x\) 翻过去，正好是 \(y=\sqrt x\)。点 \((2,4)\) 在 \(y=x^2\) 上，就有 \((4,2)\) 在 \(y=\sqrt x\) 上，横纵坐标对调。
不限制时，\((2,4)\)、\((-2,4)\) 会变成同一横坐标对应两个纵坐标，不能成为 \(y=\sqrt x\) 的图象。
\(y=1/x\) 的图象能碰到 \(x\) 轴或 \(y\) 轴吗？请分别从输入和输出说明。
展开思路与核对
为什么 \(\dfrac1x\) 碰不到坐标轴：\(x=0\) 没定义，碰不到 \(y\) 轴；\(\dfrac1x\) 永远不是 \(0\)，碰不到 \(x\) 轴。
① 五个幂函数放在一起
点下面的按钮显示或隐藏函数；在图上拖动（或点一下）改变 \(x\)，看每个函数在这一点的值和它们的大小顺序。键盘：Tab 选中图上的黑点，左右方向键每次移动 0.1。
② 进阶：\(\dfrac1x\) 的两支为什么不能连起来说
\(x\) 轴上有两个点 \(A\)、\(B\)（拖动，或选中后按方向键，每次 0.1）。先把两点都放在 \(0\) 的右边，比一比；再把 \(A\) 拖到 \(0\) 的左边，看“自变量变大、函数值变小”还成不成立。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. 下面哪个不等式成立？
B。\(y=\sqrt x\) 在 \([0,+\infty)\) 上递增，\(1.5<1.7\)，所以 \(\sqrt{1.5}<\sqrt{1.7}\)。A：\(y=x^3\) 递增，应是 \(0.3^3<0.4^3\)（\(0.027<0.064\)）；C：\(\dfrac1x\) 在 \((0,+\infty)\) 上递减，应是 \(\dfrac12>\dfrac13\)；D：\(-8<-1\)。
2. 正方形的边长 \(a\)（米）和面积 \(S\)（平方米）满足 \(a=\sqrt S\)。一块正方形草坪面积从 \(16\) 平方米扩大到 \(25\) 平方米，边长增加了多少？
A。\(\sqrt{16}=4\)，\(\sqrt{25}=5\)，边长从 \(4\) 米变成 \(5\) 米，增加 \(1\) 米。选 B 是面积的增加量（单位也不对，是平方米）；选 C 是算了 \(\sqrt{25-16}\)，可“开方”不能这样拆开减。
易错
3. 当 \(0<x<1\) 时（比如 \(x=0.5\)），下面四个数里谁最大？
答案是 D。算一下 \(x=0.5\)：\(x^3=0.125\)，\(x^2=0.25\)，\(x=0.5\)，\(\sqrt x\approx0.707\)。
凭感觉选 A 是“指数越大，数越大”，这句话只在 \(x>1\) 时对。比 \(1\) 小的正数，每多乘一次自己就缩小一次，所以 \(x^3<x^2<x\)；而 \(0<x<1\) 时，\(\sqrt x\) 也在 \((0,1)\) 内；它再乘自己等于 \(x\)，所以 \(x<\sqrt x\)。以 \(x=1\) 为界顺序翻过来，“动手”①里拖一拖就能看到。
4. 函数 \(f(x)=\sqrt x+\dfrac1x\) 的定义域是？
答案 C。两部分都要有意义：\(\sqrt x\) 要 \(x\ge0\)，\(\dfrac1x\) 要 \(x\ne0\)，合起来是 \(x>0\)。
选 B 是只看了 \(\sqrt x\)，忘了 \(x=0\) 时 \(\dfrac1x\) 没意义；选 D 是只看了 \(\dfrac1x\)，忘了负数不能开平方。几个式子加在一起，定义域要取交集。
5. 关于 \(y=\dfrac1x\) 的单调性，哪句说法对？
答案 B。每一支单独看都在往下走，所以分别递减；C 把左边那一支看反了（\(x\) 从 \(-2\) 到 \(-1\)，\(y\) 从 \(-\tfrac12\) 变到 \(-1\)，是在变小）。
A 错在把两支连起来：取 \(-1<1\)，函数值却是 \(-1<1\)，自变量变大、函数值也变大，不符合减函数的定义。“动手”②里把 \(A\) 拖到 \(0\) 的左边就能看到。本例应说在两个区间上分别递减；不能因为各段递减，就省去跨区间的比较而断言并集上递减。
挑战
6. 比较 \(a=(-0.8)^3\) 和 \(b=(-0.6)^3\)，以及 \(c=(-0.8)^2\) 和 \(d=(-0.6)^2\)。哪个结论对？
答案 A。\(y=x^3\) 在整个 \(\R\) 上递增，\(-0.8<-0.6\)，所以 \(a<b\)（算一下：\(-0.512<-0.216\)）。
\(y=x^2\) 在 \((-\infty,0]\) 上是递减的，\(-0.8<-0.6\) 反而得到 \(c>d\)（\(0.64>0.36\)）。如果照搬“\(x^2\) 是增函数”就会选 B。比大小前先看两个自变量落在哪个单调区间里。
本节真题与练习
真题 4 道、原创 1 道；共 5 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部题目。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 27.2 反比例函数的图象和性质初中的一次函数 $y=x$、二次函数 $y=x^2$ 与反比例函数 $y=x^{-1}$，在高中统一归入幂函数族 $y=x^\alpha$，反比例函数的中心对称性也成为奇函数的典型例子。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。