2017 年陕西预赛 · 第 5 题

解答

每对不同的原点对称点恰有一个横坐标 $t>0$。由两段公式，对称条件等价于

将该辅助函数连续延拓到 $t=0$，则

所以 $(0,1)$、$(1,2)$ 内各有至少一个根。又

故 $H^{\prime }$ 严格递增。若有三个不同零点，由罗尔定理 $H^{\prime }$ 至少有两个不同零点，与严格递增矛盾。因此恰有两个正根，也就恰有 $\boxed{2\text{ 对}}$ 对称点，选 $\boxed{\mathrm{C}}$。