培玉 · 一试
2018 年天津预赛 · 第 7 题
F2填空题函数的图像与性质
已知函数 和 的定义域都是 ，它们的图象围成的区域面积是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
上方曲线是半径为 的上半圆，正弦函数在对称区间上的正、负面积相等。
思路
先确认半圆始终位于正弦曲线上方，才能用这种抵消计算所围面积。
解答
当 时，。当 时，
两曲线仅在左右端点相交，所以围成区域的上边界为 、下边界为 。右半区因正弦在横轴上方而扣除的一块，与左半区因正弦在横轴下方而增加的一块，关于原点中心对称，面积相等。因此区域面积等于整个上半圆面积：
复核
把 与 处的竖直高度配对，可得
它与上半圆的两侧配对高度相同，也验证了增补和扣除部分恰好抵消。
方法总结
用奇偶性计算围成面积时，先判定曲线的上下关系。对称抵消的是带符号的增补面积，不能在有额外交叉时直接把奇函数面积忽略。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
用对称性算两曲线围成面积前，必须先证明圆弧在整个区间确处于正弦曲线上方；确认无额外交叉后，正弦的奇性才使增补面积和扣除面积抵消。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：对称配对：和差分离
已记下，谢谢！