培玉 · 一试
2011 年湖南预赛 · 第 1 题
F1填空题函数的图像与性质
已知函数 （）在区间 内为减函数，在区间 内为增函数，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
多项式在所有实数连续可导。
思路
由相邻两个区间先减后增，可以锁定交界处的极小点，再用该点导数为零求参数。
解答
函数在 左侧邻域递减、右侧递增，又在该点连续，因此它在 处取得局部极小值，故
由 ，
得到 。
复核
取 时，
它在 上严格为负，在 上严格为正，恰好满足两条单调条件，充分性成立。
方法总结
单调方向在相接点改变时，可借连续可导性确定临界导数；求出参数后必须回查整段导数符号，而非只检查一个点。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
两侧降增使交界成为可导极小点，可先令该点导数为零；所得参数仍须回查整个给定区间的导数符号。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用导数或作差看单调性
已记下，谢谢！