函数的图像与性质知识图谱

函数等式只能在有关项都有定义时使用。若 $f(x)=1/x$，则 $f(g(x))$ 要求 $g(x)$ 有定义且 $g(x)\ne 0$；外层定义域会给内层结果增加限制。

值域须由合法输入实际产生。$f(x)=x^2$ 在实数域的值域是 $[0,+\infty )$，在 $(0,1)$ 上则是 $(0,1)$；不能只写非负而漏掉端点和上界。

奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$；若零在定义域内，则 $f(0)=0$。偶函数满足 $f(-x)=f(x)$。只有值关系和定义域对称同时成立，才能使用奇偶性。

图像关于 $x=c$ 对称等价于 $f(c+t)=f(c-t)$。反射把 $x$ 送到 $2c-x$，所以也可写成 $f(2c-x)=f(x)$。这不是关于点 $(c,0)$ 的中心对称。

实数域上若 $f$ 为奇函数且关于 $x=1$ 对称，则 $f(x+2)=f(-x)=-f(x)$，进而 $f(x+4)=f(x)$。这里得到的是一个周期，不自动说明它是最小正周期。

迭代 $f_n(x)$ 是重复代入，不是 $f(x)$ 的 $n$ 次方。找到从初始输入出发的循环后，才可按循环长度处理下标；若先有一段不循环的过渡，也必须单独计入。

若 $f$ 在实数域上严格递增且为奇函数，则 $f(u)+f(v)>0$ 等价于 $f(u)>f(-v)$，又等价于 $u+v>0$。仅有奇性而没有严格单调，不能推出最后一步。

若条件化成 $3m-2x>0$ 且 $x\in [m,m+1]$，左端关于 $x$ 严格递减，最小值在右端点，为 $m-2$。原不等式严格且端点包含，所以要求 $m>2$。

若整数点按 $0,1,0,-1$ 循环，则四项加权和中两个非零项的权重不同。每一组 $(4k+1)f(4k+1)+(4k+3)f(4k+3)=-2$；不能把函数值之和为零误当成加权和为零。