2008 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

由 $f(1)=0$，得 $c=-a-b$。又 $b>c$ 给 $a+2b>0$；若 $a\le 0$，则 $b<a\le 0$ 使 $a+2b<3a\le 0$，矛盾。因此 $a>0$。令 $t=b/a$，由 $a>b>c$ 得

已知条件可写成

所以至少有一个 $m\in \{m_1,m_2\}$ 满足 $f(m)=-a$，即

该方程有实根，故 $t^2+4t=t(t+4)\ge 0$。结合 $-1/2<t<1$，得到 $0\le t<1$，于是 $\boxed{b\ge 0}$。

$f$ 的两个零点是 $1$、$-1-t$，故横轴截线段长为 $2+t$，其取值必在 $[2,3)$ 内。反之，对任意 $t\in [0,1)$，取 $a=1,b=t,c=-1-t$，再取 $m_1$ 为 $m^2+tm-t=0$ 的一个实根、$m_2=1$，便满足全部条件，且两点不同。因此长度范围恰为 $\boxed{[2,3)}$。

对上面至少一个满足 $f(m)=-a$ 的 $m$，其较小可能值为

因为 $0\le t<1$，且 $t+\sqrt{t^2+4t}<1+\sqrt{5}<4$。故 $m+3>1$，结合另一个零点 $-1-t\le -1$ 及 $a>0$，有 $f(m+3)>0$。所以 $\boxed{\text{能得出至少一个数为正数}}$。