2008 年安徽预赛 · 第 2 题

解答

下面给出不用坐标的证明。设两直线交于$O$。在它们所成的任一角域内，取该角的内角平分线为方向$u$，过$O$的垂线为方向$v$；设此角为$2\theta$，$0<\theta <90^{\circ }$。点$P$在这个闭角域内，向$u$作垂线，垂足为$H$。 $P=O$的距离和为0，不在所求轨迹上。对$P\ne O$，记$OP=r$，从$u$到$OP$的有向角为$\phi$，则$-\theta \le \phi \le \theta$。到两边所在直线的距离分别为$r\sin (\theta -\phi )$、$r\sin (\theta +\phi )$；两正弦均非负。由正弦和差公式，它们的和为

故本角域内距离和为$1$的轨迹，是垂直于内角平分线且满足$OH=1/(2\sin \theta )$的一条线段，端点分别在两条原直线上。相邻角域的线段在同一条原直线上共端点，因为该端点到另一条直线的距离恰为$1$；相邻两角的内角平分线互相垂直，所以相邻轨迹线段也互相垂直。 四个闭角域覆盖平面，故全部轨迹恰为这四条线段组成的矩形边界，选$\boxed{\mathrm{D}}$。