2023 年山东预赛

解答

按原题字面，若 $D=E=A$，则直线 $DE$ 不存在，命题没有定义。以下证明所有 $D\ne E$ 且题设各点及圆均有定义的情形。以 $A$ 为原点，记

并设

再记

若 $\mathbf{o}=\overrightarrow{AO}$，由 $OA=OB=OC$ 得

三个中点的坐标为

在基底 $(\mathbf{u},\mathbf{v})$ 中，把点写成 $X=\alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v}$。代入 (2) 可核得圆 $PQR$ 的方程为

其中

直线 $DE$ 上的点可写为

显然 $P=X(1/2)$。把 $X(\lambda )$ 代入 (3)，所得二次方程的另一根为

另一方面，由 (1)，外心 $O$ 在直线 $DE$ 上的垂足参数为

所以 $H=X({\lambda }_0)$ 正是直线 $DE$ 与圆 $PQR$ 的另一个交点，因而 $P,Q,R,H$ 四点共圆。