2014 年黑龙江预赛 · 第 12 题

解答

取垂直于 $BD$、从 $A$ 指向 $BD$ 一侧的单位向量 $\mathbf{u}$，记 $A$ 到 $BD$ 的距离为 $h>0$。 因为 $B,D$ 都在 $BD$ 上，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ 在该方向的投影均为 $h$。 于是对题中任一点 $P$，

梯形有 $DC\Vert AB$、同向且 $DC=AB/3$，故

因而 $C$ 位于 $BD$ 远离 $A$ 的一侧，$C$ 到 $BD$ 的距离为 $h/3$，这就是所给圆的半径 $r$。 圆内每一点到圆心的投影严格在 $(-r,r)$ 内，所以

代入 $r=h/3$ 并除以 $h$，得到 $1<\alpha +\beta <5/3$。 反之，任给这个开区间中的数 $t$，在过 $C$ 且方向为 $\mathbf{u}$ 的直径上取点

其长度严格小于 $r$，确在圆内，且上述投影等式给 $\alpha +\beta =t$。 因此完整范围为 $\boxed{(1,5/3)}$，选 D。 图中 $T,U$ 为该直径的圆周端点；题目要求点在圆内，故两端对应数值都不能取得。