2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

A。最近处离雷达站 \(4\) 千米，比 \(5\) 千米近，飞到那里时已经在圈里了，前后还有一段也在圈里。

如果最近处正好 \(5\) 千米，只在那一点擦边；如果最近处 \(6\) 千米，整条航线都在圈外。

把探测范围看成一个圆、航线看成一条直线：圆心到直线的距离和半径一比，就知道直线和圆的关系。两个圆也一样，比的是两个圆心的距离。这一节就讲这两件事。

A。圆心 \((0,0)\)，\(r=2\)；\(d=\dfrac{|0+0-2|}{\sqrt{1+1}}=\dfrac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\approx1.41<2\)，相交（两个交点是 \((2,0)\) 和 \((0,2)\)）。选 B 的同学多半忘了除以 \(\sqrt{1^2+1^2}\)，把 \(d\) 算成了 \(2\)。

B。\(d=2\)，\(r=\sqrt{13}\)，半弦 \(=\sqrt{13-4}=3\)，弦长 \(6\)。选 A 的同学停在了半弦，忘了乘 \(2\)；选 C 是把直径当成了弦长；选 D 是把 \(r^2-d^2\) 算成了 \(13-2\)（\(d\) 没平方）。

C。\(r_1=3\)，\(r_2=2\)，圆心距 \(d=1\)。\(r_1-r_2=1=d\)，内切（切点 \((3,0)\)）。选 A 的同学只看了 \(d=1<5=r_1+r_2\)，没和 \(|r_1-r_2|\) 比。

A。相减：\((x^2+y^2-4)-(x^2+y^2-4x)=4x-4=0\)，\(x=1\)。选 B 的同学减的时候 \(-4x\) 前面的负号没变号。

B。配方：\((x-1)^2+(y-2)^2=5\)，圆心 \((1,2)\)，\(r=\sqrt5\)。\(d=\dfrac{|2-2+5|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac5{\sqrt5}=\sqrt5=r\)，相切。配方时常见的错是把右边写成 \(0\) 或 \(-5\)：两边都要加上 \(1\) 和 \(4\)。

A。圆心 \((0,2)\)，\(r=5\)；\(d=\dfrac{|0-8-2|}{5}=2\)；弦长 \(=2\sqrt{25-4}=2\sqrt{21}\)。B 是半弦；C 把 \(r^2-d^2\) 算成了 \(r^2+d^2\)；D 是直径。

C。第二个圆配方：\((x-1)^2+y^2=1\)，圆心 \((1,0)\)，\(r_2=1\)；\(r_1=4\)。圆心距 \(d=1\)。

\(|r_1-r_2|=3\)，\(d=1<3\)，小圆整个在大圆里面，内含。选 A 的同学只比了 \(d=1<5=r_1+r_2\)：两条分界线 \(r_1+r_2\)、\(|r_1-r_2|\) 都要比。

B。第二个圆配方：\((x-4)^2+y^2=4\)，圆心 \((4,0)\)，\(r_2=2\)。圆心距 \(d=4>1+2=3\)，外离，没有公共点。

相减本身没算错（谁减谁都是同一条直线），但不相交的两个圆相减也会得到一条直线，它不是公共弦。先判断相交，再相减。

B。\(y=1\) 代入：\(mx^2-2x+m=0\)。

\(m\ne0\) 时这是二次方程，\(\Delta=4-4m^2=0\)，\(m=\pm1\)。比如 \(m=1\)：曲线是圆 \((x-1)^2+y^2=1\)，和 \(y=1\) 相切。

\(m=0\) 时方程变成 \(-2x=0\)，不是二次方程，不能用 \(\Delta\)。它只有一个解 \(x=0\)：曲线是直线 \(x=0\)，和 \(y=1\) 交于一点 \((0,1)\)。这不是相切，但“只有一个公共点”成立。选 A 漏了这种情况，选 C 漏了 \(m=-1\)（那时是圆 \((x+1)^2+y^2=1\)）。

C。先确认相交：第二个圆 \((x-3)^2+(y-4)^2=25\)，圆心 \((3,4)\)，\(r_2=5\)；\(r_1=5\)，圆心距 \(d=5\)，\(0<5<10\)，相交。

相减：\((x^2+y^2-25)-(x^2+y^2-6x-8y)=6x+8y-25=0\)。原点到它的距离 \(\dfrac{25}{10}=\dfrac52\)，半弦 \(=\sqrt{25-\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5\sqrt3}{2}\)，弦长 \(5\sqrt3\)。B 是半弦。