2026 年云南预赛

解答

把正三角形置于坐标平面，使三个顶点为

先证明 $n\ge 11$。在三边方向间距均为 $4$ 的三角格阵上，取四行点，每行点数依次为 $4,3,2,1$。这 $10$ 个点均位于原三角形内，任意两点的距离至少为 $4$。由于

任意一枚半径为 $\sqrt{3}$ 的硬币都不能同时盖住其中两点。因此 $10$ 个点时题述性质 不一定成立。

再证明 $n=11$ 已足够。把原正三角形的每条边四等分，并过分点作各边的平行线， 得到 $16$ 个边长为 $3$ 的小正三角形，其中与原三角形方向相同的有

个。在这 $10$ 个同向小三角形的中心各放一个半径为 $\sqrt{3}$ 的圆盘。

每个同向小三角形的外接圆半径为

所以它完全在以自身中心为圆心的相应圆盘内。对任一反向小三角形，设 $G$ 为其中心， 连接 $G$ 与三个顶点，把它分成三块。每一块都邻接一个同向小三角形；该块的三个顶点 到这个相邻同向小三角形中心的距离均为 $\sqrt{3}$。由于圆盘是凸集，这一整块都在相应 圆盘内。因此上述 $10$ 个圆盘覆盖了整个原三角形。

任取 $11$ 个点，对每个点任选一个盖住它的圆盘。由抽屉原理，至少两个点被分到同一圆盘， 它们的距离不超过该圆盘的直径 $2\sqrt{3}$，故可由一枚半径为 $\sqrt{3}$ 的硬币同时盖住。

因此所求最小值为