同一骨架 2016 年山西预赛 第 10 题 · P009489
把边上的点写成顶点位置的加权组合，再把构造直线上的点与三角形中心的标准权重比较，就能将“经过哪个中心”变成系数关系。边分比先应正确翻译；周长平分和中点反射产生的权重，不能直接当成面积平分的权重。
一题直接把目标点写成两个边上点的凸组合，另一题先恢复反射点和中位线交点的位置，再比较直线方向；正系数还能核点在线段内部。
培玉 · 一试
2008 年天津预赛 · 第 3 题
F3选择题平面几何综合
如图，已知 分别为 的三边 的中点； 分别是 上的点，并满足 均平分 的周长。 分别是 关于 的对称点， 与 交于点 。若 ，则 一定过 的（ ）。
- A.
内心
- B.
外心
- C.
重心
- D.
垂心
作答
标准答案：A
解析
提示
先把周长平分写成半周长差，再用中点反射得到两个相同截距。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
最后以向量比较 与内心方向。
解答
设 。周长平分给 、。关于中点反射后，
取 为原点，以 、 表示各点。记 ，则 。因 且L为BC中点，交点F的v系数为1/2；联立直线PQ得
内心 ，于是
故A、I、F共线，且0<c/s<1。应选
复核
c>b确保F按题图落在相应中位线段上；t=s−b>0由三角不等式保证。向量关系给内心处于A、F之间，不仅方向平行。周长平分条件未误作面积平分。
方法总结
周长平分常产生s−边长，中点反射会互换一条边上的两段。涉及内心的共线问题可与边长加权位置向量比较。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
周长平分会产生半周长与边长的差，中点反射再把两处截距统一；须联立交线位置，并与内心的边长加权向量比较，才能确定所经的中心。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用基点和线性组合表示位置、用权重表示重心、内心等
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