2016 年天津预赛 · 第 11 题

解答

设最小内角为 $m$，则最大内角为 $3m$。凸多边形的内角是小于 $180^{\circ }$ 的正整数，所以 $m\le 59$。令各外角为 $d_i=180-{\alpha }_i$，则它们是互不相同的正整数，且 $\sum d_i=360$。其中最小外角 $180-3m\ge 3$，最大外角 $180-m\ge 121$。 除最大外角以外，剩下 $n-1$ 个不同整数的和至少为 $3+4+\cdots +(n+1)$，因此

若 $n\ge 21$，右端至少为 $371$，矛盾，故 $n\le 20$。 现取二十个外角的度数为

它们的和为 $207+32+121=360$，最小为三，最大为一百二十一，对应内角最小 $59^{\circ }$、最大 $177^{\circ }$，满足三倍关系，且全部互异。 这些角确可实现：在一个圆上依次选二十条切线，使其外法向的相邻转角依次为上述外角。各转角都在 $0^{\circ }$ 与 $180^{\circ }$ 之间，且绕满一周，切线的含圆半平面交成有界凸多边形。每条切线在自身切点处与其余半平面边界严格分离，因而都给出一条真正的边；相邻两边的内角就是 $180^{\circ }-d_i$。故存在满足条件的凸二十边形，所求最大值为 $\boxed{20}$。