培玉 · 一试
2017 年山西预赛 · 第 10 题
F3解答题平面几何综合
如图， 的内心为 。过 作 ，过 作 ， 是 、 的交点；若 ，，线段 、 的中点分别为 、。证明：
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
角平分线的反射将一个邻边所在射线变成另一个邻边射线。
思路
题中的垂线交点因此正是反射点，两个长度都等于BC；中点向量随后直接给出所需垂直。
解答
记 ，从A出发沿AB、AC的单位向量为 。将C关于BI反射，因BI平分角B，反射点在射线BA上，且连线垂直BI；故它正是M，。同理，N为B关于CI的反射点，。因此以A为原点，
E、F分别为BN、CM中点，所以
而AI的方向为 ，并且
于是
复核
M、N可以落在边的延长线上，向量中的c−a、b−a允许为负，因此没有把交点位置误限在线段内部。a>0且u≠v，EF方向非零；内角小于180°保证u+v也非零。
方法总结
角平分线配“过一点垂直于角平分线”的直线，优先检查反射；等距反射加中点常会产生两单位向量之差。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
角平分线与过对顶点的垂线应先识别为反射构造，得到交点的有向边位置；两个中点之差化成单位方向之差，再与角平分线方向作点积判断垂直。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用平移、旋转、对称化简、展开模平方与数量积
已记下，谢谢！