2015 年辽宁预赛 · 第 6 题

复核

下面用梅涅劳斯定理给出不用坐标的证明。延长 $AB$ 交直线 $CE$ 于 $X$。设正六边形边长为 $s$。因 $BC\perp CE$，$\angle XBC=60^{\circ }$，且 $BC=s$，故 $BX=2s$；$AB=s$，所以 $AB/BX=1/2$。同一正六边形中 $CE=\sqrt{3}s$，而 $CX=\sqrt{3}BC=\sqrt{3}s$，故 $CX=CE$。

由于 $N$ 在 $CE$ 内部，$X,C,N,E$ 依次共线，且 $CN=\lambda CE$，所以 $XN/CN=(1+\lambda )/\lambda$。$M$ 在 $AC$ 内部，$CM/MA=(1-\lambda )/\lambda$。在三角形 $ACX$ 中，截线 $B,M,N$ 的梅涅劳斯条件为

因 $0<\lambda <1$，唯一可取 $\boxed{\lambda =\sqrt{3}/3}$，选A。反向由梅涅劳斯逆定理，该值确使三个内分点共线，故充分性成立。