2016 年安徽预赛 · 第 10 题

解答

记内心为 $I$，不妨令 $D,E,F$ 依次位于 $BC,CA,AB$。半径 $IE,IF$ 分别垂直于 $CA,AB$，四边形 $AEIF$ 中有两个直角，故 $\angle EIF=180^{\circ }-A$。较小弧 $EF$ 不含 $D$，圆周角定理给出

循环同理，$△DEF$ 的三个角组成的集合为

设原三角形的最大、最小角为 $M,m$，则接触三角形的最大角减最小角为 $(M-m)/2$。若两三角形相似，它们的角多重集相同，所以

从而 $M=m$，三个角均为 $60^{\circ }$。反过来，若 $ABC$ 是正三角形，则上述三个接触角也全为 $60^{\circ }$，两三角形相似。因此