同一骨架 2020 年中科大少年班初试 第 8 题 · P009930
把整体量拆成局部贡献再求平均，两题都不需要局部贡献互相独立。每个小对象被计入多少次或以多大概率被计入，可以分别计算；平均值既能给出期望，也能保证至少一个对象不超过平均。
一个对循环短弧块作确定性的平均，另一个对随机排列中的位置对求期望。
培玉 · 一试
2022 年贵州预赛
圆上点集中的小面积凸多边形
F3解答题平面几何综合
已知半径为 的圆上有 个点，求证：至少存在一个凸 边形，它的面积小于 。（，）
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
按圆周顺序取连续 个点。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
所有这类点组所张的短弧角之和可以双重计数，因此至少一组落在小于 的圆弧内。其多边形包含在对应圆弓形中，面积便可统一估计。
解答
将 个点按圆周顺序记为 ，下标按模 计算。记相邻点所对的圆心角为 ，则
对每个 ，由连续 个点
所占圆弧的圆心角为
每个 在全部 中恰出现 次，故
于是至少有一个 满足
取这连续的 个点，依圆周顺序连接，得到凸 边形。它包含在圆心角为 的圆弓形内。单位圆中该圆弓形面积为
利用题给近似值，
故所取凸 边形的面积小于 。
复核
个连续点之间恰有 个间隔，所以双重计数系数为 而不是 。又因 ，这些点和首尾弦围成的多边形确实完全位于对应小圆弓形中。
方法总结
圆上大量点中寻找小面积多边形，可对固定长度的连续点块所跨圆心角求平均。得到短弧后，用圆弓形面积 控制所有内部凸多边形。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
关键是对所有连续337点所跨336段圆弧作平均，找到不足pi/3的一组；随后多边形包含于弓形并用面积上界即可完成。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：算两次与贡献法
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易混 2012 年河北预赛（高三卷） 第 2 题 · P009576
两题都涉及圆弧区域，可以用扇形减三角形，但区域的截断方式决定应减哪块三角形。竖直截线下的圆弧面积，与首尾弦截下的圆弓形不是同一形状，不能机械套用同一个弓形公式。
一题按指定横坐标截取曲线下方区域；另一题先找到短弧，再用弦与弧之间的区域包住多边形。
已记下，谢谢！