圆内接四边形与托勒密

先预测，再核对

先用四条边估算 AC·BD，再核对你的预测（误差允许 0.02）。

为什么成立，边界在哪里

单位圆上的四个互异点按逆时针顺序记为 A、B、C、D。托勒密定理给出 AC·BD=AB·CD+BC·DA。这里 AC、BD 是对角线，AB、BC、CD、DA 是不交叉的四条边；交换标签导致交叉顺序后，不能仍把同一组乘积称为这个等式。

凸四边形中 BD 位于 ∠ABC 内，所以 0<∠DBC<∠ABC。从射线 BA 向 BC 方向作 ∠ABK=∠DBC，射线 BK 与线段 AC 相交于 K。由同弧圆周角可得 △ABK∼△DBC，故 AK·BD=AB·CD。再由 ∠KBC=∠ABD 和 BK/BA=BC/BD 得 △BKC∼△BAD，故 KC·BD=BC·DA。因为 AK+KC=AC，两式相加即得等式。这是圆内接条件产生的相似关系。

A 固定为 0°；B∈[20°,100°]，C∈[130°,220°]，D∈[250°,340°]。这些互不相交区间保证点互异、顺序固定，相邻圆心角至少 20°，不允许退化。所有长度按坐标的欧氏距离重算。数值舍入造成的末位差不代表定理失效。