培玉 · 一试
2018 年湖北预赛 · 第 5 题
F3填空题平面几何综合
设 为 的重心，若 ，且 ，则 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
以重心为原点，三个顶点向量之和为零。
思路
正交条件使两条目标边长平方只依赖两个非负平方量，最后用柯西不等式并验证相等长度构型。
解答
取G为原点，记 。由重心关系，。已知 ，且
因此
两者之和为10。由柯西不等式，
取互相垂直的两个单位向量b、c即可使AB=AC=，构成非退化三角形，故
复核
可取G=(0,0)、B=(1,0)、C=(0,1)、A=(−1,−1)。三点重心确为原点，BG⊥CG、BC=，且AB=AC=，所有等号同时可达。
方法总结
重心原点配正交条件，可让距离平方展开中交叉项消失；先求平方和，再求长度和并给出等号配置。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
以重心为原点将三个顶点向量联系起来，正交条件再消去距离平方中的交叉项；先得到两边平方和，再用柯西求边长和，并构造非退化取等情形。
已记下，谢谢！