培玉 · 一试
2009 年安徽预赛 · 第 9 题
已知平行四边形 满足 ，向四边形外部作 和 ，使得
连接 ，向 外部作 ，使得
证明：.
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
复数形式 （非零alpha）表示保持方向的旋转伸缩加平移。外作条件决定用直接相似还是反射相似，不能只凭角相等猜对应。
想法从哪来：连续几组角条件都在描述相似，而最终要求两三角形全等，说明可能先把它们都对应到同一个参照三角形，并让公共边控制相似比。平行四边形可把C作原点，A的位置就是B与D向量之和；这给复数直接相似留下特别简单的代数关系。第一组外作三角形确定一个“旋转加缩放再平移”的变换，从它的三个对应点得到一个恒等式。接着构造固定F、把C送到E的第二个相似，恒等式恰说明它把B送到A。题给的新三角形也与同一参照相似，且EF对应同一条边，于是两相似比相同，再转为三边全等。
先把两组外作三角形的角对应写清。用一个直接相似变换证明 与 相似，再与题设新作三角形比较同一底边的比例。
解答
以复数表示平面，取 ，则平行四边形的另一顶点 。记 。 由两组角条件及在四边形外部的放置，
对应为 ，两三角形方向相同。于是存在直接相似变换 ，满足 。故
再看直接相似变换
它把 映到 、把 映到自身，而
其中最后一步用了前一恒等式。所以
另一方面，原来的相似还给出 ，结合新三角形的角条件可知
上述两组三角形都以 对应同一边 ，所以相似比相同，得到 。再加公共边 ，由三边判定得到
复核
“方向相同”可由有向面积核实：沿相邻边 分别向四边形外部作三角形， 与 的顶点次序同向；若整图镜像则二者同时变向，直接相似仍成立。所作三角形非退化，故 及所除边长均不为零。最后比较相似比只用边长，不把外作方向误当成可以随意翻转原向量。
方法总结
角条件连成两次相似时，可用复数仿射形式把平行四边形的顶点和接进相似映射，再用同一对应底边将相似升级为全等。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须核准两组三角形的角对应和外作方向，并把平行四边形顶点和引入相似变换；最后识别相同底边对应以证明两组长度相等。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：四点共圆与相似
已记下，谢谢！