培玉 · 一试平面几何知识图谱
先把图中的条件翻译成对应的边、角、高和圆，再选一条能够连接目标的路线。卡住时补一个基础，回到当前题，再换题检验。
这次练什么把已知条件接成一条求解链，并核对角的范围、图形位置和最终所求。
这里已知是平面几何训练；直接挑战先不提示具体方法。也可以回到专题讲义补基础。
找到你想补的那一点
点一个节点，读短讲解并做一次辨析。连线表示数学关系，不是必须逐关完成的顺序。
先查条件
选择工具
检查结论
需要理解可选联系帮助检验
逐条读图中的关系
- 先配准底和高
面积换高时，所用的底边必须与这条垂线对应；任意一条已知边不能直接代作底。
- 先配准夹角和对边
余弦定理左边是夹角所对边的平方；圆内接四边形还需找准互补的两内对角。
- 先配准一组对边对角
正弦定理的比值必须来自相互对应的边和角，所得比值是外接圆直径。
- 已知面积时可先找高
本图的一条路线由面积求高，再在新出现的直角三角形中求投影或目标角；没有面积的题也可能直接得到高。
- 先确定垂足与角的位置
本图用作高后相减的路线，需要说明垂足在线段内部；点在延长线上时应重新写线段关系。
- 得到边角后可继续求圆
先用余弦定理得到角的余弦，再结合内角范围求正弦，可以把已知对边接到外接圆直径；这是可选路线，不是所有题的固定顺序。
- 检验被保留的角
由正弦得到两个候选角时，用原题的锐钝条件或其他边角关系检查，不能凭草图删去一个。
- 检验投影的加减
用勾股与三角比得到长度后，代回垂足位置和线段和差，检查是否仍符合原构型。
- 分清直径与半径
正弦定理中的比值等于2R；结尾还要根据题目需要转换为半径、直径或其他长度。
- 把中间边角接到目标
公共对角线或角的余弦可能只是中间量，求出后要继续连接题目真正要求的长度或圆。
- 可行之后再完成答案
候选值须能还原成允许图形，再检查它对应的量是否正是原题所问。
基础概念
角的范围与点的位置
先看锐钝、内外，再决定取哪一个角或投影方向。
由正弦值反求三角形内角时，可能有两个角。例如 且 ，有 或 ；若另知是锐角，才只留 。垂足在线段上还是延长线上，也会决定一段长度应相加还是相减。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 先确定垂足与角的位置
本图用作高后相减的路线，需要说明垂足在线段内部；点在延长线上时应重新写线段关系。
- 检验被保留的角
由正弦得到两个候选角时，用原题的锐钝条件或其他边角关系检查，不能凭草图删去一个。
基础概念
把图形关系配成对应的量
边要对准角，底要对准高，共圆要用对对角。
在 中，记 ，则 分别对着 。面积公式中的高必须对应所选底边。若四个不同点按 顺序组成圆内接四边形，则 ；写两次余弦定理时，可以共同使用对角线 。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 先配准底和高
面积换高时，所用的底边必须与这条垂线对应；任意一条已知边不能直接代作底。
- 先配准夹角和对边
余弦定理左边是夹角所对边的平方；圆内接四边形还需找准互补的两内对角。
- 先配准一组对边对角
正弦定理的比值必须来自相互对应的边和角，所得比值是外接圆直径。
方法工具
面积换成对应的高
面积与一条底边已知，先把高算出来。
三角形面积满足 ，因此对应底边 的高为 。例如底边为 、面积为 ，高就是 。若随后要用勾股定理，先画出这条高，确认垂足与原顶点的相对位置。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 先配准底和高
面积换高时，所用的底边必须与这条垂线对应；任意一条已知边不能直接代作底。
- 已知面积时可先找高
本图的一条路线由面积求高，再在新出现的直角三角形中求投影或目标角；没有面积的题也可能直接得到高。
方法工具
作高后用勾股与三角比
把斜边和高接成直角三角形，再还原目标角。
设 ，若 ，则 。若还知 且 在线段 内，就有 ，从而 。若垂足位置改变，不能照搬这一步减法。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 已知面积时可先找高
本图的一条路线由面积求高，再在新出现的直角三角形中求投影或目标角；没有面积的题也可能直接得到高。
- 先确定垂足与角的位置
本图用作高后相减的路线，需要说明垂足在线段内部；点在延长线上时应重新写线段关系。
- 检验投影的加减
用勾股与三角比得到长度后，代回垂足位置和线段和差，检查是否仍符合原构型。
方法工具
余弦定理把边角接起来
三边与夹角之间，用同一条等式传递条件。
在三角形中，。当两组三角形共用一条边时，可以分别写出它的平方，再联立。例如圆内接四边形中，用公共对角线 分别联系 与 ，并利用 。写式前先核对角与其对边。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 先配准夹角和对边
余弦定理左边是夹角所对边的平方；圆内接四边形还需找准互补的两内对角。
- 得到边角后可继续求圆
先用余弦定理得到角的余弦，再结合内角范围求正弦，可以把已知对边接到外接圆直径；这是可选路线，不是所有题的固定顺序。
- 把中间边角接到目标
公共对角线或角的余弦可能只是中间量，求出后要继续连接题目真正要求的长度或圆。
方法工具
正弦定理连接边角与圆
一组对边对角可给出外接圆直径。
正弦定理写成 。例如 ，则外接圆直径为 ，半径为 。若 是锐角三角形的垂心，对 使用正弦定理，可结合原三角形得到 ；使用前要保留锐角与垂心位置条件。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 先配准一组对边对角
正弦定理的比值必须来自相互对应的边和角，所得比值是外接圆直径。
- 得到边角后可继续求圆
先用余弦定理得到角的余弦，再结合内角范围求正弦，可以把已知对边接到外接圆直径；这是可选路线，不是所有题的固定顺序。
- 分清直径与半径
正弦定理中的比值等于2R；结尾还要根据题目需要转换为半径、直径或其他长度。
基础概念
检查算出的构型是否存在
数值成立，还要能还原成原题允许的图形。
边长必须为正，并满足严格的三角形不等式；角度、垂足和交点也要符合原题的位置条件。解方程得到一个数，只是候选。例如三边长若为 ，虽然都是正数，却因 只能排成一条直线，不能组成非退化三角形。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 检验被保留的角
由正弦得到两个候选角时，用原题的锐钝条件或其他边角关系检查，不能凭草图删去一个。
- 检验投影的加减
用勾股与三角比得到长度后，代回垂足位置和线段和差，检查是否仍符合原构型。
- 可行之后再完成答案
候选值须能还原成允许图形，再检查它对应的量是否正是原题所问。
基础概念
回到题目核对所求的量
把中间量与最终答案分清，再代回检查。
一条解题链可能先得到高、某条对角线、 或外接圆半径。最后要确认题目究竟问哪一个量。例如已经算出外接圆半径 ，若题目问直径，就应答 。还可以把求出的边角代回面积式或边角关系，检查是否一致。
先做这道小题检查理解，再回题目里试一试。
这个知识点还连着什么？
- 分清直径与半径
正弦定理中的比值等于2R；结尾还要根据题目需要转换为半径、直径或其他长度。
- 把中间边角接到目标
公共对角线或角的余弦可能只是中间量，求出后要继续连接题目真正要求的长度或圆。
- 可行之后再完成答案
候选值须能还原成允许图形，再检查它对应的量是否正是原题所问。
练习记录
阅读与辨析不计入真题做对率；真题作答沿用原记录，区分带练、补基础后完成和未额外求助的挑战。