2010 年湖南预赛 · 第 6 题

解答

矩形沿一条线段剪成两片后，若拼为三角形，两凸片的接缝是一整条共有边。接缝端点不能落在某片边内部，否则该处180°再加另一片正角会破坏凸性。若剪口两端都非原顶点，两片顶点总数为8，合并接缝两端后仍至少4个外边界顶点，不能成三角形。因此剪口至少过一个矩形顶点。

若为对角线，两片均为直角边30、40及斜边50的三角形。分别沿长、短直角边拼，使两直角在接缝一端合为平角，得到边长组

沿斜边不能形成平角，不产生三角形。

若只过一个顶点，则为三角片与直角梯形。设被截对边长w、另一边长h，截点到相邻角距离t。三角片角为90°、φ、90°−φ，梯形角为90°、90°、φ、180°−φ，其中tanφ=h/t。两片共7个顶点，要成三角形，接缝两端的角都须合为180°。通常只能将三角片含90°、φ的边t与梯形含90°、180°−φ的边w−t相接，故t=w/2。φ=45°时还可能比较另一条直角边，但长度匹配要求w=2h，本题40与30不满足。于是两种方向分别得到直角边长组

这两种直角三角形与前两种等腰三角形互不全等。因此共有

选 $\boxed{\mathrm{D}}$。