培玉 · 一试
2011 年中科大少年班初试 · 第 10 题
F3选择题平面几何综合
将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则正确的是（ ）
- A.
存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
- B.
存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
- C.
存在某种分法，所分出的三角形至少有三个锐角三角形
- D.
任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
作答
标准答案：D
解析
提示
正多边形各顶点共圆，每个所分三角形的外心都是正多边形中心。
思路
锐角三角形恰好把这个外心包含在内部，因而只需看中心落在哪个三角形。
解答
记正11边形中心为O。三角剖分中的每个三角形都内接于原圆，其外心都是O。三角形为锐角当且仅当外心在其内部。因11为奇数，任意两顶点都不互为对径点，故任何对角线均不经过O。O因此不在剖分边界上，而恰在一个所分三角形的内部。这个三角形为锐角，其余三角形的外心O在外部，均为钝角。故任意分法都恰有一个锐角三角形，选择
复核
若正多边形边数为偶数，可能出现通过O的直径对角线，中心会落在边界上，论证不能照搬。这里11为奇数，也排除了右角三角形，因为右角的对边必须为原圆直径。
方法总结
共圆多边形的三角剖分计数，可将角型转成圆心的包含关系；先核圆心是否会落在某条对角线上。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需自行发现锐角等价含圆心，再证明圆心不落剖分边而唯一属于一片；原有限迭代不足。
已记下，谢谢！