2011 年中科大少年班初试 · 第 5 题

解答

内切说明 $O,O_1,A$ 依次共线，$O,O_2,B$ 依次共线；外切说明 $C$ 在 $O_1{O}_2$ 的内部。先设 $0<\alpha <\pi$，记

在 $△O{O}_1{O}_2$ 中，有 ${\theta }_1+{\theta }_2=\pi -\alpha$。 由于 $O_{1}A=O_{1}C$ 且 $\angle A{O}_{1}C=\pi -{\theta }_1$，等腰三角形 $A{O}_{1}C$ 给出 $\angle AC{O}_1={\theta }_1/2$。同理，$\angle BC{O}_2={\theta }_2/2$。 点 $A,B$ 都在直线 $O_1{O}_2$ 的与 $O$ 相反的一侧，而 $C{O}_1,C{O}_2$ 为反向射线。因此该侧的平角被上述三个角分成

于是

故 A、B、C 三式均恒成立。D 的左侧为 $-2\sin \alpha$，在 $0<\alpha <\pi$ 时非零，不能作为恒等式成立。 若两圆心方向相反，即 $\alpha =\pi$，设大圆半径为 $R$、两小圆半径为 $r_1,r_2$，中心距条件给 $r_1+r_2=R$。这时 $C$ 严格位于直径 $AB$ 内部，所以 $\beta =\pi$，上面三条恒等式仍成立。D 虽在此特例取零，却并非对所有合法构型成立。方向相同的 $\alpha =0$ 不可能发生，因为两个正半径小圆的中心距会是半径差，而非外切所需的半径和。 综上，全部正确选项为 $\boxed{\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}}$。