培玉 · 一试
2011 年安徽预赛 · 第 6 题
F3填空题平面几何综合
平面上一个半径为 的动圆沿边长为 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
圆始终位于三角形外，扫到的点恰是三角形外距离它不超过2r的点。
思路
按最近接触位置分成三条外侧长方形带和三个顶点扇形，便不会重计。
解答
沿一条边滚动时，圆心距边为r，圆覆盖该边外侧宽2r的带状区域。经过顶点时，圆心绕顶点走半径r的圆弧，覆盖外侧半径2r的相应扇形。按最近点在边内部或在顶点分类，这些区域内部不重叠，且覆盖全部扫过区域。三条长方形面积和为 ；三顶点的外法向角合计2π，故扇形面积和为 。于是
复核
所有滚动圆都在三角形外部，原三角形内部不计入。对任一外部点，若其到三角形距离为t≤2r，沿最近点的外法向取距r的圆心，该点到圆心距离|t−r|≤r，故确被覆盖；t>2r则不可能覆盖。公式对任意r>0均适用，不依赖r相对a很小。
方法总结
外侧滚动扫面积可先识别为外平行带，再按边的法向条带和顶点法向扇形分解；别把圆心轨迹面积当成圆扫面积。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先识别圆扫域是三角形外侧的平行带，再按最近点在边或顶点分区；要算圆覆盖的面积，而非圆心轨迹围成的面积。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：按实际截面求面积或体积
已记下，谢谢！