1.5 全称量词与存在量词

A。只要有一个人没交，“所有人都交了”就不成立。

所以“所有人都交了”的反面，不是“所有人都没交”，而是“有人没交”。“所有”变成了“有”，“交了”变成了“没交”。

这一节就讲这两类说法：“所有的都……”和“有一个……”。怎么判断它们的真假，怎么写出它们的反面（否定）。

B。\(x=0\) 是反例。选 A 的同学只举了几个例子，全称命题要管到每一个；选 C 的同学把“不是负数”（\(\ge 0\)）当成了“\(>0\)”，漏了 \(0\)。

是 B。“平方会变大”只对一部分数成立。取 \(x=\tfrac12\)：\(\tfrac14<\tfrac12\)，一个例子就说明 \(p\) 真。

\(\neg p\) 是“\(\forall x\in\mathbf{R},\ x^2\ge x\)”，同一个 \(x=\tfrac12\) 就是它的反例，所以 \(\neg p\) 假。选 A 的同学只试了 \(x=2,3\) 这类数；C、D 一眼就能排除：否定和原命题永远一真一假。

A。\(x^2-4x+5=(x-2)^2+1\ge 1\)，每个 \(x\) 都满足。B：\(x^2+1\ge1\)，没有一个 \(x\) 让它等于 \(0\)；C：绝对值不会是负数；D：\(x=-1\) 是反例。B、C 是存在命题，说它假要排除每一个，不能只试一两个数就下结论。

A。“有的”换成“所有”，“是正数”变成“不是正数”。B 只改了结论，C 只改了量词。检验：原命题真（\(|1|=1\)），A 假（同一个 \(x=1\) 是反例），一真一假。

是 B。A 还留着“任意”：原命题假（\(x=0\)），A 也假（\(x=1\)），两个都假，不是否定。C 没把结论取反。D 把“\(>\)”的反面写成了“\(<\)”，漏了 \(x^2=0\)：原命题假，D 也假。

B 是真的（\(x=0\)），和原命题正好一真一假。

是 C。A 只换了量词，忘了否定结论；B 只否定了结论，忘了换量词。两处都要改。

D 也错：\(\le\) 的反面是 \(>\)，不是 \(\ge\)。比如 \(x=-1\) 时 \(x+1=0\)，既满足 \(\le 0\) 又满足 \(\ge 0\)，两边就“撞车”了。

检验一下：原命题真（\(x=-1\)），C 假（同一个 \(x=-1\) 就是反例），一真一假。

是 B。“\(x>1\)”是讨论范围，不是结论。否定时还在 \(x>1\) 里找，范围照抄。

A 把范围也否定了。看看真假就知道不对：原命题是真的（大于 1 的数平方也大于 1），而 A 也是真的（取 \(x=0\)）。两个都真，A 不可能是否定。B 是假的，正好一真一假。

A。存在命题是假的，等于它的否定“\(\forall x\in\R,\ x^2+2x+a\ne 0\)”是真的：每一个 \(x\) 都不让它等于 \(0\)。

配方：\(x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1\)，最小是 \(a-1\)（在 \(x=-1\) 处），往上什么值都能取到。要它永远不等于 \(0\)，只能 \(a-1>0\)，即 \(a>1\)。

选 B 的同学多算了 \(a=1\)：这时 \(x=-1\) 让式子等于 \(0\)，原命题是真的。