2016 年黑龙江预赛 · 第 1 题

解答

圆盘 $B$ 的圆心为 $(1,1)$、半径为 $1$，因此位于 $x\ge 0,y\ge 0$ 的区域。除去坐标轴上的切点后有 $x>0,y>0$。令

交换横纵坐标，得到

由于 $x/y>0$，对称变换 $(x,y)\mapsto (y,x)$ 把 $B$ 中 $F>0$ 的点与 $F<0$ 的点一一对应，且保持面积。$F=0$ 的点位于直线 $y=x$ 或双曲线 $xy=1$ 上，它们在圆盘内的曲线部分面积为零；轴上的切点也不影响面积。于是 $F\ge 0$ 占圆盘面积的一半，

故选 $\boxed{\mathrm{D}}$。