培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第一册 · 第 1 章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
两个集合放在一起，谁装得下谁？这一节讲子集、相等、真子集和空集，再学会在数轴上比两个范围。先从一张课表开始。
你们班的数学课排在周一、周三、周五。把这三天放进集合 \(A\)，把一周的五个工作日放进集合 \(B\)。点下面按钮看看两个集合谁装得下谁：
下面哪句话是对的？
A。周一、周三、周五都是工作日，\(A\) 里的每一个都在 \(B\) 里。周二、周四在 \(B\) 里却不在 \(A\) 里，所以 B、C 不对。
“\(A\) 里的每一个，\(B\) 里都有”，就叫 \(A\) 是 \(B\) 的子集。\(B\) 还比 \(A\) 多出几天，叫真子集；两个集合元素完全一样，叫相等。
这一节就讲两个集合之间的这几种关系，外加一个特别的集合：一个元素都没有的空集。
1. 先认识几个词：从“文氏包含与空集书包”建立直觉
要用到：1.1 的元素、属于（\(\in\)）、列举法和描述法（回看 1.1）；初中在数轴上画 \(x\ge1\) 这类范围。先看下面这幅微图解：
直觉微图解 ①子集包含的三种视觉形态
核心概念 ②属于（\(\in\)）vs 包含（\(\subseteq\)）
\(\in\) 连“元素与集合”（小对大，如 \(2 \in \{1,2\}\)）；\(\subseteq\) 连“集合与集合”（包对包，如 \(\{2\} \subseteq \{1,2\}\)）。绝不能写成 \(2 \subseteq \{1,2\}\)！
核心概念 ③空集 \(\varnothing\) 是幽灵：任何集合的子集！
要推翻“\(\varnothing \subseteq B\)”，必须从 \(\varnothing\) 里找出一个不在 \(B\) 里的元素；而空集里根本没有元素，谁也抓不到反例！所以 \(\varnothing \subseteq B\) 对任何集合恒真！
2. 核心判定与子集计算公式
\(A \subseteq B\)：\(A\) 中任意元素都在 \(B\) 中。
\(A \subsetneqq B\)：\(A\subseteq B\)，且 \(B\) 至少多出 1 个元素。
子集数为 \(2^n\)：\(n\) 个元素，每个都有“选 / 不选”两种抉择。
例 1（看一遍怎么写）
\(B=\{1,2,3,4,6,12\}\)（\(12\) 的正因数），\(A=\{1,2,4\}\)，\(C=\{1,2,5\}\)。\(A\)、\(C\) 是不是 \(B\) 的子集？
\(A\)：逐个查，\(1\in B\)，\(2\in B\)，\(4\in B\)，每一个都在，所以 \(A\subseteq B\)。
\(C\)：\(1\)、\(2\) 在 \(B\) 里，但 \(5\notin B\)。有一个反例就够了，所以 \(C\not\subseteq B\)。
自己试试：\(B=\{1,2,3,4,5,6\}\)。下面哪个集合是 \(B\) 的子集？
B。\(6\) 的正因数是 \(1,2,3,6\)，都在 \(B\) 里。A 有 \(0\)，C 有 \(8\)，都不在 \(B\) 里。选 D 的同学忘了自然数包括 \(0\)：小于 \(7\) 的自然数是 \(0,1,\dots,6\)，\(0\) 就是那个反例。
例 2（相等与真子集）
\(A=\{x\mid x^2=1\}\)，\(B=\{-1,1\}\)，\(C=\{-1,0,1\}\)。说出 \(A\) 和 \(B\)、\(A\) 和 \(C\) 的关系。
先把 \(A\) 写清楚：\(x^2=1\) 的解是 \(x=1\) 或 \(x=-1\)，所以 \(A=\{-1,1\}\)。
\(A\) 和 \(B\) 元素一样，\(A=B\)。
\(A\) 的 \(-1\)、\(1\) 都在 \(C\) 里，\(A\subseteq C\)；而 \(0\in C\)，\(0\notin A\)，所以 \(A\subsetneqq C\)。
自己试试：\(\{x\mid x\text{ 是小于 }4\text{ 的正整数}\}\) 和 \(\{3,1,2\}\) 是什么关系？
A。小于 \(4\) 的正整数是 \(1,2,3\)，和 \(\{3,1,2\}\) 元素一样，只是顺序不同，顺序不影响相等。选 C 的同学多半把 \(0\) 也算成了正整数；\(0\) 不是正数。
例 4（子集个数推导）
列出 \(\{a,b\}\) 的全部子集，再看加进 \(c\) 以后有几个。
\(\{a,b\}\)：\(\varnothing\)，\(\{a\}\)，\(\{b\}\)，\(\{a,b\}\)，共 \(4=2^2\) 个。
加进 \(c\)：原来 \(4\) 个照样是子集（不挑 \(c\)）；再各带上 \(c\)，得 \(\{c\}\)，\(\{a,c\}\)，\(\{b,c\}\)，\(\{a,b,c\}\)（挑 \(c\)）。一共 \(8=2^3\) 个。每多一个元素，个数翻一倍。
自己试试：\(\{1,2,3,4\}\) 有几个真子集？
B。子集 \(2^4=16\) 个，去掉集合自己，真子集 \(15\) 个。选 A 的同学没去掉自己；选 C 的同学连 \(\varnothing\) 也去掉了，可 \(\varnothing\) 是 \(\{1,2,3,4\}\) 的真子集，\(14\) 是“非空真子集”的个数。
为什么真子集不能有等于号：若 \(A=B\)，则 \(A\subseteq B\) 成立，但不能说 \(A\subsetneqq B\)。类比实数：\(2 \le 2\) 成立，但 \(2 < 2\) 错误。
传递性：\(A\subseteq B\)，\(B\subseteq C\)，那么 \(A\subseteq C\)：\(A\) 的每个元素都在 \(B\) 里，\(B\) 的每个元素又都在 \(C\) 里。
3. 在数轴上比范围：端点穿透法则
例 5（示范：跟老师走一遍思考过程）
已知 \(B=\{x\mid -1\le x\lt 3\}\)，判断 \(A_1=\{x\mid 0\lt x\le 3\}\) 与 \(A_2=\{x\mid -1\le x\lt 2\}\) 是否是 \(B\) 的子集？
- 问“是否为子集/包含关系” → 先把两边写成数轴区间，逐项核对端点开闭。
- 出现空集或“有多少个子集” → 先判断空集是否包含，再用元素个数的子集公式。
自己试试：\(B=\{x\mid 1\lt x\le 5\}\)。下面哪个是 \(B\) 的子集？
B。右端 \(5\) 重合，两边都实心，可以。选 A 的同学最多：\(1\) 在 A 里（实心），可 \(B\) 的 \(1\) 是空心，\(1\notin B\)。C 有 \(0.5\)，D 有 \(6\)，都跑到 \(B\) 外面了。
求出参数后，必须检验互异性：含参列举式只要出现重复元素，这个参数值就一律舍去，不能先合并再保留。比如 \(A=\{1,a,a^2\}\)，\(a=1\) 时写成 \(\{1,1,1\}\)，违背互异性，舍去；\(a=0\) 或 \(a=-1\) 也会出现重复，同样舍去。解得候选参数后，要代回原列举式，逐项比较，再核对所有其他原条件。
4. 常见易错点辨析
再深一点（可以先跳过）
两个数总能比较大小，两个集合也一定有一个包含另一个吗？试着举出反例。
展开思路与核对
类比到哪里就不像了：两个数总能比大小，不是 \(a\le b\) 就是 \(b\le a\)。两个集合却可能谁也不包含谁：\(\{1,2\}\) 和 \(\{2,3\}\)，\(1\) 不在后者里，\(3\) 不在前者里。所以“像 \(\le\)”只是帮你发现问题，数的性质不能直接搬过来。
① 子集个数计数器
点下面的数，把它放进集合 \(S\) 或拿出来。新放进去的那个数会让子集个数翻倍：绿色的就是“带上新元素”得到的那一半。
② 进阶：数轴上的包含关系
拖动圆点改端点（也可以点圆点后用方向键，回车切换实心/空心），按钮也能切换端点实心/空心。试试把 A 的左端拖到和 B 的左端重合，再切换实心空心；把 A 的左端拖到右端的右边，看看会怎样。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. 集合 \(\{1,2,3\}\) 一共有几个子集？
C，\(2^3=8\) 个：\(\varnothing\)，\(\{1\}\)，\(\{2\}\)，\(\{3\}\)，\(\{1,2\}\)，\(\{1,3\}\)，\(\{2,3\}\)，\(\{1,2,3\}\)。
选 6 的同学漏了两头：一个都不挑（\(\varnothing\)）和全挑（集合自己）。选 7 的多半只漏了其中一个。
2. \(A=\{x\mid -1\lt x\lt 2\}\)，\(B=\{x\mid x\lt 3\}\)。\(A\) 和 \(B\) 是什么关系？
B。\(A\) 里的数都比 \(2\) 小，当然比 \(3\) 小，所以 \(A\subseteq B\)；\(B\) 里的 \(-5\)、\(2.5\) 不在 \(A\) 里，所以是真子集。选 C 的同学看见 \(A\) 两头都有端点，以为它“多”；画到数轴上，\(B\) 往左一直延伸，比 \(A\) 长得多。
易错
3. 下面哪个写法是对的？
A 错：空集里一个元素都没有，\(0\) 当然不在里面。B 错：\(\{0\}\) 有一个元素 \(0\)，空集没有，不相等。D 错：\(0\) 是元素，元素和集合之间只能用 \(\in\)，应写 \(0\in\{0\}\)。
C 对：空集是任何集合的子集；\(\{0\}\) 非空，比空集多出一个 \(0\)，所以是真子集。
4. \(B=\{x\mid 0\le x\lt 5\}\)，\(A=\{x\mid a\lt x\lt a+2\}\)。要使 \(A\subseteq B\)，\(a\) 的范围是？
先列不等式 \(a\ge0\)、\(a+2\le5\)，再把两个等号单独代回去查：
\(a=0\) 时 \(A=\{x\mid 0\lt x\lt 2\}\)：A 的左端空心，\(0\) 不在 A 里，没问题，所以 \(a=0\) 可以。
\(a=3\) 时 \(A=\{x\mid 3\lt x\lt 5\}\)：A 的右端空心，\(5\) 不在 A 里，B 不含 5 也没关系，所以 \(a=3\) 也可以。
答案 \(0\le a\le3\)。端点要不要，不靠感觉，代进去看“A 有没有一个元素跑到 B 外面”。可以在“动手”②的数轴上摆出来验证。
5. \(B=\{x\mid -1\lt x\lt 4\}\)，\(A=\{x\mid m+1\le x\le 2m-1\}\)。若 \(A\subseteq B\)，\(m\) 的范围是？
很多人选 A：直接写 \(m+1>-1\)、\(2m-1\lt 4\)、\(m+1\le2m-1\)。这就默认了 A 里面有元素。
情况一：\(A=\varnothing\)。左端比右端大：\(m+1>2m-1\)，即 \(m\lt 2\)。空集是任何集合的子集，这些 \(m\) 全都满足。
情况二：\(A\ne\varnothing\)。\(m\ge2\)，并且 \(m+1>-1\)、\(2m-1\lt 4\)，得 \(2\le m\lt \dfrac52\)。（\(m=\dfrac52\) 时 \(4\in A\) 但 \(4\notin B\)，不行。）
两种情况合起来：\(m\lt \dfrac52\)。选 D 的同学是把 \(m>-2\) 当成了必须满足的条件，但 \(m\lt 2\) 时 A 已经是空集，根本不用管它的端点。
挑战
6. \(A=\{x\mid x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\mid ax=1\}\)。若 \(B\subseteq A\)，实数 \(a\) 所有可能的值组成的集合是？
B。先把 \(A\) 写清楚：\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\)，\(A=\{1,2\}\)。
\(a=0\) 时，\(0\cdot x=1\) 无解，\(B=\varnothing\)，空集是子集，满足。
\(a\ne0\) 时，\(B=\left\{\dfrac1a\right\}\)，要 \(\dfrac1a\in A\)：\(\dfrac1a=1\) 得 \(a=1\)；\(\dfrac1a=2\) 得 \(a=\dfrac12\)。
所以 \(a\in\left\{0,1,\dfrac12\right\}\)。选 A 的同学漏了 \(B\) 为空集的情况；选 C、D 是把 \(x\) 的值当成了 \(a\) 的值。
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一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。