2009 年陕西预赛 · 第 9 题

解答

以半球底面为 $z=0$、大球心为原点。每个单位球切底面，球心高度为一；它们两两外切，三个水平球心组成边长二的正三角形，外接圆半径为 $2/\sqrt{3}$。又每个球内切大球，球心到原点的距离都是 $R-1$，所以共同水平截圆半径平方为 $(R-1{)}^2-1$。三个不共线点的圆心唯一，故 $(R-1{)}^2-1=4/3$，解得 $\boxed{R=1+\sqrt{21}/3}$。