2015 年河北预赛 · 第 7 题

解答

设容器棱长为 $L$。单位球心到四个面都至少为一，所以球心可行域是四面各内缩一的同心正四面体。原内切半径为 $L\sqrt{6}/12$，故内缩后的棱长为 $s=L-2\sqrt{6}$；能容十球必有 $s>0$。先证若 $s<4$ 不可能。在球心四面体中，把重心坐标至少二分之一的四个角区分别取出；每区是棱长 $s/2$ 的小正四面体，直径小于二，故至多含一个球心。其余部分是六棱中点围成的中央正八面体，它包含在半径 $R=s/(2\sqrt{2})$ 的球内。引理：三维半径 $R$ 的球内任意五点必有两点距离不超过 $\sqrt{2}R$。若不然，以球心为原点的任意两点向量内积都严格负；五点在三维有非平凡仿射依赖 $\sum c_i{v}_i=0,\sum c_i=0$。把正负系数移到两侧，得到同一向量 $w$；其平方是两侧正权交叉内积之和，严格为负，矛盾。由引理，中央区至多容四个间距至少二的球心；加四角至多八个，更不可能容十个。故 $s\ge 4$。反之取 $s=4$，将球心放在该正四面体的四顶点与六棱中点，任意两心距离不少于二，且所有心到原容器各面至少一，十单位球全部可放入。因此 $\boxed{L_{\min }=4+2\sqrt{6}}$。