2021 年中科大少年班初试 · 第 2 题

解答

取正方体为 $[0,1{]}^3$，中心坐标为 $X=x-1/2,Y=y-1/2,Z=z-1/2$。两个交错顶点四面体的八个面，共同给全部符号组合的中心侧不等式 $\pm X\pm Y\pm Z\le 1/2$。所以公共体为 $|X|+|Y|+|Z|\le 1/2$，即以六个面心为顶点的正八面体。它分成八个三条互垂棱均长二分之一的小四面体，体积为 $8\cdot (1/2{)}^3/6$，得到 $\boxed{1/6}$。