2018 年天津预赛 · 第 12 题

解答

三颗半径六的球心两两距离十二，构成正三角形，其外接圆半径为 $4\sqrt{3}$。半径七的球心到这三点距离均为十三，因此在中心法线上距底面十一处，取高度十一。大球心也在此轴上，设高度 $t$、半径 $R$，内切给 $(R-6{)}^2=48+t^2$ 与 $|11-t|=R-7$。若 $t\le 11$，则 $t=18-R$，代入得 $R=14,t=4$；若 $t\ge 11$，则 $t=R+4$，代入得负半径，舍去。因此 $\boxed{R=14}$。