2010 年河北预赛 · 第 3 题

解答

采用交错符号四顶点 $(u,v,w),(u,-v,-w),(-u,v,-w),(-u,-v,w)$，由三组棱长五、四、$x$ 可求三坐标平方分别为 $(41-x^2)/8,(9+x^2)/8,(x^2-9)/8$。四点不共面当且仅当三平方都严格正，因而 $3<x<\sqrt{41}$。反过来，此区间每个 $x$ 都给正坐标并实现全部六棱长，充分性成立。所以 $\boxed{x\in (3,\sqrt{41})}$，选 C。