2024 年四川预赛

解答

把上下两个单位正方形都以中心为原点。下底面为 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}{]}^2$，上底面是它旋转 $45^{\circ }$ 后所得正方形。高度中点处的截面是两正方形的闵可夫斯基平均。

先把两个正方形相加，所得八边形的顶点依次为

其中 $q=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}$。由鞋带公式，其面积为 $2+2\sqrt{2}$，故中截面面积为

棱柱体公式（截面积关于高度为二次式）给出