2015 年黑龙江预赛 · 第 11 题

解答

缩放为 $a=1$，取 $D=(0,0,0),A=(1,0,0),C=(0,1,0),B=(1,1,0)$。由 $PD=1,PA=PC=\sqrt{2}$，平方相减得 $P$ 的前两坐标为零，故可取 $P=(0,0,1)$。棱锥半空间为 $x,y,z\ge 0,x+z\le 1,y+z\le 1$。若内球中心为 $(x,y,z)$、半径 $r$，则 $x,y,z\ge r$，且 $1-x-z\ge \sqrt{2}r$。因而 $1\ge (2+\sqrt{2})r$。取 $r=1/(2+\sqrt{2})$、球心 $(r,r,r)$，五个面到球心距离恰都为 $r$，真能内含。因此恢复尺度后 $\boxed{r_{\max }=(1-\sqrt{2}/2)a}$，选 C。