2013 年河北预赛 · 第 8 题

解答

设棱长为 $a$，以四面体中心为原点取交错符号坐标 $k(1,1,1),k(1,-1,-1),k(-1,1,-1),k(-1,-1,1)$，其中 $k=a/(2\sqrt{2})$。对任意单位法向量，四点投影的平方和都是 $4k^2=a^2/2$。四平面相邻距离均为一，减去四高度平均后，四投影为 $-3/2,-1/2,1/2,3/2$，平方和为五。所以 $a^2=10$，体积为 $\boxed{a^3/(6\sqrt{2})=5\sqrt{5}/3}$。