2018 年河北预赛（高三卷） · 第 13 题

解答

记 $a=\cos \alpha ,b=\cos \beta ,c=\cos \gamma$。因 $M$ 在底面内部，三方向余弦均正，且 $a^2+b^2+c^2=1$。若三个角是三角形内角，则应满足 $a^2+b^2+c^2+2abc=1$，与 $abc>0$ 矛盾，故它们不可能是锐角三角形的三个内角。为区别顶点 $S$，将题中的代数式记作 $T$。利用平方和一，直接展开可得 $T-3=(a/b-a/c{)}^2+(b/c-b/a{)}^2+(c/a-c/b{)}^2\ge 0$，因此 $\boxed{T\ge 3}$。等号当且仅当 $a=b=c=1/\sqrt{3}$。