2011 年天津预赛 · 第 8 题

解答

原正四棱锥底边二，侧棱 $\sqrt{3}$，所以高为一。它与立方体 $[-1,1{]}^3$ 的中心到任一个面的棱锥全等。立方体由这六个全等棱锥组成，内部互不重叠；以同一中心为球心的单位球完整包含在立方体内。立方体旋转对称把六个棱锥的球交部分互相对应，故六部分体积相同并恰分整个球。因此 $\boxed{V=(4\pi /3)/6=2\pi /9}$。