2018 年河南预赛 · 第 2 题

解答

大正四面体边长六，内切球半径为 $r_0=\sqrt{6}/2$。设小正四面体边长 $s$，外接球半径为 $R=s\sqrt{6}/4$。若 $R\le r_0$，把两中心重合，则小四面体在其外接球内，而此球在大四面体内，因此任何旋转都可进行。反过来，取小四面体的四顶点分别朝向大四面体四个面的外法向；这是正四面体可经旋转取得的反向顶点组。设四单位外法向为 $n_i$，有 $\sum n_i=0$。即使该朝向允许任意平移 $t$，内含也要求 $n_i\cdot t+R\le r_0$，四式相加得 $R\le r_0$。所以 $s\le 2$，且二能够达到，$\boxed{s_{\max }=2}$。